Straßenbahn, Term, dass Schwarzfahrer ehrlich wird

11.06.2014, 21:27

Magda3028

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Straßenbahn, Term, dass Schwarzfahrer ehrlich wird

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich bearbeite gerade eine Abituraufgabe aus dem Jahr 2006, die wir in der Schule lösen sollen.
Es geht um folgende Aufgabe : http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/wk/aa/BezRegNRW_A26gk - Stra?enbahn.pdf

ich komme bei c 1 und zwei nicht weiter, wieso sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schwarzfahrer ehrlich wird wenn er bei 52 Fahrten mindestens 2 mal kontrolliert wird, durch diesen : "1-(1-p)^52-52p(1-p)^51" Term beschreiben lässt.

Meine Ideen:
Ich finde leider keine Ansätze

Wer kann mir weiterhelfen oder einen Tipp geben?

Mfg Magdalena

11.06.2014, 21:36

Incognita

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Der Link funktioniert nicht.

Hier ein funktionierender Link; die Aufgabe befindet sich auf Seite 35.

Tipp: Binomialverteilung (warum?) und Gegenwahrscheinlichkeit.

11.06.2014, 21:47

Magda3028

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Aber wieso heißt es denn 1-(1-p)...
Das p die Wahrscheinlichkeit für einen Schwarzfahrer und 1-p die Gegenwahrscheinlichkeit habe ich nun raus.
Woran erkennt man die mindestens zweimalige Kontrolle.
Für mich erscheint der Term logischer wenn der Fahrer bei der zweiten Kontrolle schon einen Fahrschein hat.. aber dem ist ja nicht so.

11.06.2014, 21:52

Incognita

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Ich gliedere mal etwas anders:

$\begin{eqnarray*} 1 - \left[\underbrace{(1-p)^{52}}_{P(X=?)} + \underbrace{52p\cdot (1-p)^{51}}_{P(X=?)}\right] \end{eqnarray*}$

11.06.2014, 22:12

Magda3028

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Ah, ok vielen Dank jetzt ist der Term wesentlich logischer... demnach würde sich daraus dann eine Wahrscheinlichkeit von 0,62 also 62% ergeben. Stimmt das?

Allerdings bekomme ich die Verknüpfung zu den mindestens zwei Kontrollen irgendwie immernoch nicht ganz hin. Habe gerade ein Brett vorm Kopf.

11.06.2014, 22:19

Incognita

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Ja, für die genannten 4% Schwarzfahrer ist das richtig. <-- nein (siehe diesen Beitrag)

Im Text steht ja

Zitat:

Ein Schwarzfahrer wird ehrlich, wenn er bei seinen 52 Fahrten mindestens
zweimal kontrolliert wird.

Das heißt: wenn er 2, 3, 4, ..., 52 Mal kontrolliert wird. Das wäre sehr umständlich zu berechnen. Daher geht man zum Gegenereignis über.

Wie lautet das Gegenereignis?
Und wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses?

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11.06.2014, 22:25

Magda3028

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Wäre das Gegenereignis in diesem Fall 52p(1-p)^51?

Das Gegenereignis errechnet sich normalerweise aus (1-p)^n-k

11.06.2014, 22:34

Incognita

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Ein Ereignis wird ja meist in Wort formuliert (manchmal auch formalisiert).

Ereignis E: "Er wird bei 52 Fahrten mindestens zweimal kontrolliert."
Gegenereignis $\begin{eqnarray*} \overline{E}: \end{eqnarray*}$ "Er wird ...."

Für die Wahrscheinlichkeit gibt es einen allgemeinen Zusammenhang, den du mit "1-p" ein bisschen andeutest: Für Ereignis und Gegenereignis gilt ja grundsätzlich $\begin{eqnarray*} P(E)+P(\overline{E})=1 \end{eqnarray*}$ .

11.06.2014, 22:47

Magda3028

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mein Problem ist das ich mir nicht sicher bin wo bei diesem Term das Ereignis und das Gegenereignis liegen. Kannst du mich vielleicht aufklären?

11.06.2014, 22:50

Incognita

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Schau erstmal nicht auf den Term, sondern nur darauf:

Zitat:

Ereignis E: "Er wird bei 52 Fahrten mindestens zweimal kontrolliert."
Gegenereignis $\begin{eqnarray*} \overline{E}: \end{eqnarray*}$ "Er wird ...."

Dann überlege, welche Werte n und k bei der Binomialverteilung haben, und setze sie in die Formel ein.

11.06.2014, 23:17

Magda3028

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Ereignis E beschreibt in diesem Fall doch aber den ganzen Term mit dem Ergebnis das die mit einer 62%tigen Wahrscheinlichkeit eintrifft?!

11.06.2014, 23:24

Incognita

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Zitat:

Original von Incognita
Ja, für die genannten 4% Schwarzfahrer ist das richtig. nein

Ich muss mich korrigieren unglücklich

unglücklich

.
Tut mir leid. Ich habe gerade noch einmal genau gelesen: p ist die Wahrscheinlichkeit dafür, kontrolliert zu werden (und nicht etwa die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fahrgast schwarzfährt). Es ist also nicht möglich, einen konkreten Wert für die Wahrscheinlichkeit anzugeben.

______________________________________

$\begin{eqnarray*} \overline{E}: \end{eqnarray*}$ "Der Fahrgast wird bei 52 Fahrten höchstens einmal kontrolliert" (also 0-mal oder 1-mal).
Gerechnet wird $\begin{eqnarray*} P(E)=1-P(\overline{E}) \end{eqnarray*}$ .

Wie groß sind nun n und k?

(Es wird gerade spät für mich. Können wir eventuell morgen weitermachen? Falls nicht, macht hoffentlich jemand anders weiter.)

11.06.2014, 23:28

Magda3028

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Würde mich freuen wenn du mir morgen weiterhilfst... Das wird gerade alles ein bisschen viel und um diese Uhrzeit fällt das Denken dann auch ein wenig schwer.

viele grüsse
magda

11.06.2014, 23:35

Incognita

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Danke; dann bis morgen Schläfer

Schläfer

12.06.2014, 11:46

Magda3028

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So bin wieder da.
Aber wenn p die Wahrscheinlichkeit für eine Kontrolle darstellt, woran kann man dann fest machen, dass es sich um die Schwarzfahrer handelt?

12.06.2014, 12:50

Incognita

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Der Text geht davon aus, dass es sich um einen Schwarzfahrer handelt:

Zitat:

1. ..., dass ein Schwarzfahrer ehrlich wird, ...

Es ist also eine Bedingung, die laut Text erfüllt sein muss. Nur unter dieser Bedingung ergibt sich der Term.

12.06.2014, 14:06

Magda3028

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Alles klar mir ist aber immernoch nicht klar wie ich erkennen kann was nun das ereignis und was das gegenereignis ist

12.06.2014, 14:20

Incognita

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Okay, ich sammle jetzt mal. Ich dachte, ich hätte alles geschrieben, aber manchmal wird einem das ja selber nicht klar.

Zitat:

Ereignis E: "Er wird bei 52 Fahrten mindestens zweimal kontrolliert."
Gegenereignis $\begin{eqnarray*} \overline{E}: \end{eqnarray*}$ "Der Fahrgast wird bei 52 Fahrten höchstens einmal kontrolliert" (also 0-mal oder 1-mal)."
Gerechnet wird $\begin{eqnarray*} P(E)=1-P(\overline{E}) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} P(E)=1 - \left[\underbrace{\underbrace{(1-p)^{52}}_{P(X=?)} + \underbrace{52p\cdot (1-p)^{51}}_{P(X=?)}}_{P(\overline{E})}\right] \end{eqnarray*}$

Ergänzt habe ich nur noch eine weitere Unterklammerung.
Die Ausdrücke $\begin{eqnarray*} P(X=?) \end{eqnarray*}$ sind noch ein bisschen zu ergänzen und werden mithilfe der Binomialverteilung berechnet, also $\begin{eqnarray*} P(X=k)=B(n; p; k) \end{eqnarray*}$ (eine gängige Schreibweise; möglicherweise sieht das bei euch etwas anders aus). n und k sind auszufüllen, p bleibt als unbekannter Parameter erhalten.

Klarer? Und wenn nicht: an welcher Stelle ist es nicht klar?

12.06.2014, 15:02

Magda3028

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Vielen Dank nun ist es eindeutig klarer!
n ist dann doch in diesem fall die anzahl der Fahrten also 52
und k wäre \geq 2

ALso P(X \geq 2) = B(52;p;\geq 2) =...

12.06.2014, 15:03

Magda3028

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\geq 2 soll eigentlich größer gleich 2 heißen. bekomme das mit den formeln nicht so hin

12.06.2014, 15:09

Incognita

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Darauf wollte ich eigentlich die ganze Zeit hinaus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 2)=1-P(X \leq ?) \end{eqnarray*}$
Das ist ja nichts anderes als der Übergang zum Gegenereignis.

-------
Darstellung von Formeln: das ganze muss noch in

code:
1:	[latex] [/latex]

(f(x)-Button)

12.06.2014, 15:23

Magda3028

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Vielen Dank, du hast mir echt geholfen.

Kannst du mir vielleicht noch ein bisschen weiter helfen.

Wie muss ich nun vorgehen wenn ich ein Baumdiagramm erstellen möchte?
Mit einer frei gewählten Kontrollwahrscheinlichkeit zb. p=40%.

dann muss ich doch die prozentwerte der kontrolle mit der fahrgäste und der schwarzfahrerwahrscheinlichkeit verknüfen? Wie mache ich das?

Hat ein punkt beim baumdiagramm dann 4 arme - sprich : kontrolle schwarzfahrer; kontrolle kein schwarzfahrer; keine kontrolle Schwarzfahrer; keine kontrolle kein Schwarzfahrer?

und wie kann ich dann die wahrscheinlichkeit für einen beliebigen fahrer (am ende des monats schwarzfahrer; am ende des monats kein schwarzfahrer)

würde mich freuen wenn du mir noch weiter, wenn nicht würde ich die frage als eine neue frage eröffnen.

liebe grüße

12.06.2014, 15:40

Incognita

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Gern geschehen. smile

smile

Geht es um die Aufgabe 3, also

Zitat:

Ermitteln Sie mit Hilfe eines zweistufigen Baumdiagramms einen Funktionsterm $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von p für die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Fahrgast am Ende des Monats Schwarzfahrer ist.

Wir haben ein zweistufiges Baumdiagramm mit je zwei Ästen, das am Ende insgesamt vier Knoten hat.

Wenn es für dich okay ist, dass ich von 15:50 bis etwa 17:30 offline gehen muss, können wir hier weitermachen; ansonsten eröffne bitte einen neuen Thread.

12.06.2014, 15:54

Magda3028

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sehr gern

smile

12.06.2014, 18:05

Magda3028

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also können wir die aufgabe versuchen ein bisschen unabhängiger von der aufgabe aus straßenbahn zu lösen smile

smile

der schwarzfahrer anteil von 4% und die tatsache, dass ein schwarzfahrer nach mind. 2 kontrollen bei 52 fahrten ehrlich wird auch.

Wenn die Kontrollwahrscheinlichkeit p= 40%

sehe das baumdiagramm dann so aus

Am anfang spaltet sich ein knoten ( erster "ast"0,4 - kontrollwahrscheinlichkeit; zweiter ast 0,6 - Gegenwahrscheinlichkeit)
beide äste spalten sich dann wieder jeweils in einen ast mit 0,4 und einen mit 0,6.

sodass man am ende folgende wahrscheinlichkeiten erhält:
Kotrolle;Kontrolle = 0,16 =16%
Kontrolle; keine Kontrolle = 0,24 =24%
Keine Kontrolle; kontrolle = 0,24 = 24%
Keine Kontrolle; Keine Kontrolle 0,36 = 36%

stimmt das soweit?

Wie lässt sich nun hieraus die wahrscheinlichkeit ermitteln, dass ein beliebiger fahrer am ende des Monats ein schwarzfahrer bzw. kein schwarzfahrer ist?

Wie muss ich vorgehen?

Vielen Dank schonmal voraus smile

smile

12.06.2014, 18:06

Magda3028

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der schwarzfahrer anteil von 4% und die tatsache, dass ein schwarzfahrer nach mind. 2 kontrollen bei 52 fahrten ehrlich wird bleiben bestehen ... meine ich

12.06.2014, 18:32

Incognita

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Dies stimmt, wenn es dir nur um die Anzahl der Kontrollen geht. Für den gesamten Monat kämst du auf ein 52-stufiges Baumdiagramm, was natürlich unmöglich zu zeichnen ist.
Dafür ist gerade die Binomialverteilung da, die eine Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für genau k Kontrollen liefert.

Ich habe den Eindruck, dass du versuchst, die Formel über Baumdiagramme herzuleiten, zumindest was diese Frage angeht:

Zitat:

Wie lässt sich nun hieraus die wahrscheinlichkeit ermitteln, dass ein beliebiger fahrer am ende des Monats ein schwarzfahrer bzw. kein schwarzfahrer ist?

Verstehe ich dich richtig, oder meinst du noch etwas anderes? verwirrt

verwirrt

12.06.2014, 18:51

Magda3028

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nicht unbedingt... aber das kam mir jetzt so in den sinn.

wie würde man das denn mit der binomialverteilung rechnen und dies in verbinung mit einem beliebigen fahrer

12.06.2014, 19:05

Incognita

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Deine Zeilen

Zitat:

ALso P(X \geq 2) = B(52;p;\geq 2) =...

Vielen Dank, du hast mir echt geholfen.

hatten in mir den Eindruck erweckt, dass du die Berechnung mit der Binomialverteilung verstanden hast oder zumindest nachvollziehen konntest. verwirrt

verwirrt

Das von dir angedachte Baumdiagramm bzw. die Binomialverteilung untersucht die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Fahrgast (egal ob Schwarzfahrer oder nicht) bei n Fahrten k-mal kontrolliert wird, wenn die Kontrollwahrscheinlichkeit bei einer Fahrt p beträgt.

Ist dir die Binomialverteilung klar? Wenn nicht, lies bitte unbedingt noch mal das einführende Kapitel in deinem Schulbuch dazu.

12.06.2014, 19:18

Magda3028

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Also von k=2 dann so?

$\begin{eqnarray*} P(X=2)=\begin{pmatrix} 52 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 0,4^{2} \cdot 0,6^{50} \end{eqnarray*}$

ist das dann ein beliebiger fahrer?

aber wie weiß ich wann er ein schwarzfahrer und wann keiner ist? oder ist damit gemeint über 2 kontrollen gibt es keinen schwarzfahrer?

12.06.2014, 19:28

Incognita

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Genauso. Diese Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass ein beliebiger Fahrgast bei 52 Fahrten genau 2-mal kontrolliert wird, wenn die Wahrscheinlichkeit, bei einer Fahrt kontrolliert zu werden, bei 40% liegt.

Der Term gibt jedoch keine Asukunft darüber, ob es sich um einen Schwarzfahrer handelt oder nicht. Dieser Term kann das einfach nicht, so wie er angelegt ist, weil jeder Fahrgast mit der gleichen Wahrscheinlichkeit kontrolliert wird.

Nur wenn Schwarzfahrer zum Beispiel häufiger kontrolliert werden (warum auch immer), würde man an p erkennen, ob es sich um einen Schwarzfahrer handelt oder nicht.

12.06.2014, 19:56

Incognita

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Mir ist gerade eine Idee gekommen, was der Kern deiner Frage sein könnte.

Ein Schwarzfahrer wird zum ehrlichen Fahrer mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 1 - \left[(1-p)^{52} + 52p\cdot (1-p)^{51}\right] \end{eqnarray*}$

In der gleichen Aufgabe findet sich ja auch noch, dass ein Nicht-Schwarzfahrer mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} (1-p)^{52} \end{eqnarray*}$ zum Schwarzfahrer wird und somit mit der Gegenwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 1-(1-p)^{52} \end{eqnarray*}$ ehrlich bleibt.

Ist es das, was dich beschäftigt?

12.06.2014, 22:10

Magda3028

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inzwischen bin ich von selbst drauf gekommen.
Vielen Dank nochmal, du warst mir ne große hilfe

smile

smile

12.06.2014, 22:45

Incognita

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Gern geschehen.

Wink

Wink

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