Zeige, dass es invertierbare Matrizen gibt

12.06.2014, 21:37

JanThiergarten

Zeige, dass es invertierbare Matrizen gibt

Meine Frage:
Hallo,
ich sitze nun schon einige Stunden an folgender Aufgabe und komme nicht vorwärts unglücklich

Es sei A ? M(m,n,R) und es sei r=Rang A
Zeige, ass s invertierbare Matrizen
s ? GLm(R), T ? GLn (R) gibt mit

SAT= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} Er & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bisher hab ich mir nur eine Skizze/Diagramm gemacht.
Möchte gerne mit der Dimensionsformel arbeiten
aber leider fehlt mir der Ansatz

Kann mir jmd helfen?

13.06.2014, 09:57

bijektion

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Das kann so niemand lesen. Was sind die Voraussetzungen?
$\begin{eqnarray*} A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r = rg(A) \end{eqnarray*}$ und zu zeigen ist, dass es $\begin{eqnarray*} S\in GL_n(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T\in GL_m(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} S\cdot A\cdot T = \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

13.06.2014, 10:32

RavenOnJ

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Zitat:

Original von bijektion
Das kann so niemand lesen. Was sind die Voraussetzungen?
$\begin{eqnarray*} A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r = rg(A) \end{eqnarray*}$ und zu zeigen ist, dass es $\begin{eqnarray*} S\in GL_{\color{red}n}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T\in GL_{\color{red}m}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} S\cdot A\cdot T = \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn schon, dann sollte es heißen:
$\begin{eqnarray*} S\in GL_{\color{green}m}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T\in GL_{\color{green}n}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

13.06.2014, 20:55

RavenOnJ

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Vielleicht gehst du Stück für Stück vor. Zeige erstmal welche Zeilen- bzw. Spaltenoperation durch welche Matrix repräsentiert wird. Muss die transformierende Matrix einer Zeilenoperation von links oder von rechts auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wirken? Wie ist es bei einer Spaltenoperation? Mit Zeilenoperationen meine ich:
a) Vertauschen zweier Zeilen
b) Multiplikation einer Zeile mit einem Wert
c) Addition bzw. Subtraktion des Vielfachen einer Zeile von einer anderen
d)-f) dasselbe für Spalten.

Zeige, dass die diese Operationen repräsentierenden Matrizen invertierbar sind. Dann zeige, dass man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ so transformieren kann, dass alle bis auf die ersten $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ Zeilen nur Nullen enthalten. Dasselbe für Spalten. Zuletzt, dass eine $\begin{eqnarray*} r\times r \end{eqnarray*}$ -Matrix von maximalem Rang zu einer Einheitsmatrix transformiert werden kann.

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