Orthogonalprojektion

12.06.2014, 23:26

Vezzril

Orthogonalprojektion

Hallo,

Wie bestimmt man eine Orthogonalprojektion?

"Wie lautet die Orthogonalprojektion von (0,0,1) auf die Ebene, die von den beiden Vektoren (1,0,0) und (1,1,0) aufgespannt wird?".

Wie macht man sowas? Eine Orthogonalprojektion bildet doch auf das orthogonale Komplement ab, oder so?

13.06.2014, 00:38

mYthos

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Hier ist die Normalprojektion auf eine Ebene gemeint.
Du schneidest also die Ebene mit der auf ihr senkrechtstehenden Geraden, die durch den gegebenen Punkt geht.
Der erhaltene Schnittpunkt ist die Normalprojektion des gegebenen Punktes auf die Ebene.

mY+

14.06.2014, 11:00

Vezzril

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Hey,

dankeschön!

Und was versteht man unter einer Koordinatenmatrix für eine Orthogonalprojektion bezüglich einer Orthonormalbasis?

Also angenommen ich hätte drei Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, v_3 \end{eqnarray*}$ die eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3 \end{eqnarray*}$ bilden.

Wie sieht dann die Koordinatenmatri für die Orthogonalprojektion auf den Unterraum U aus, wenn U von $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird?

14.06.2014, 11:56

Elvis

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Koordinatenmatrix würde ich das nicht nennen. Bei gegebener Basis eines Vektorraums gehört zu jeder linearen Selbstabbildung eine Darstellungsmatrix. Diese enthält die Bilder der Basisvektoren als Spalten ... also in diesem Fall ganz einfach ...

14.06.2014, 13:13

Vezzril

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Zitat:

Original von Elvis
Koordinatenmatrix würde ich das nicht nennen. Bei gegebener Basis eines Vektorraums gehört zu jeder linearen Selbstabbildung eine Darstellungsmatrix. Diese enthält die Bilder der Basisvektoren als Spalten ... also in diesem Fall ganz einfach ...

Hallo,

"Koordinatenmatrix" heißt es laut Aufgabenstellung.

Die Darstellungsmatrix, wie du sie bezeichnest, "enthält die Bilder der Basisvektoren als Spalten".

Ich gebe nochmal die drei Vektoren der Aufgabe an:

$\begin{eqnarray*} v_1 = (1, 0, 0) ; v_2 = (1, 1, 1) ; v_3 = (1, 1 , 0) \end{eqnarray*}$ .

Um an die Bilder der Basisvektoren zu kommen bräuchte ich doch erstmal eine Abbildungsvorschrift? Oder meinst du:

$\begin{eqnarray*} e_1 = v_1 ; e_2 = v_3 - v_1 ; e_3 = v_2 - v_3 \end{eqnarray*}$ sodass ich folgende Matrix erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ??

14.06.2014, 14:32

Elvis

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Nein, viel einfacher: $\begin{eqnarray*} \pi(v_1)=v_1,\pi(v_2)=v_2,\pi(v_3)=0\Rightarrow M(\pi)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray*}$ .

Das bezieht sich auf deine Frage :

Zitat:

Original von Vezzril
Hey,

dankeschön!

Und was versteht man unter einer Koordinatenmatrix für eine Orthogonalprojektion bezüglich einer Orthonormalbasis?

Also angenommen ich hätte drei Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, v_3 \end{eqnarray*}$ die eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3 \end{eqnarray*}$ bilden.

Wie sieht dann die Koordinatenmatri für die Orthogonalprojektion auf den Unterraum U aus, wenn U von $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird?

14.06.2014, 17:53

Vezzril

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Aha, na das ist wirklich einfach Wink

Welche Matrix habe ich denn dann eigentlich aufgestellt?

15.06.2014, 11:14

Elvis

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Welche Bedeutung deine Matrix hat, weiß ich auch nicht. Sie könnte vielleicht mit einem Basiswechsel zu tun haben.
Mir fällt noch auf, dass deine Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ kein Orthonormalsystem bilden, nicht einmal ein Orthogonalsystem, aber immerhin eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ . Vielleicht musst du noch einmal darüber nachdenken, welche Aufgabe du lösen willst.

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