Menge nicht abgeschlossen, wie zeigen?

13.06.2014, 15:26

tata

Menge nicht abgeschlossen, wie zeigen?

Meine Frage:
Hallo!
Folgendes Szenario:
$\begin{eqnarray*} \text{Sei } V = {Z_2}^n \text{ und } M \subset V \text{ eine Teilmenge davon. Außerdem gilt: } 0 \in M \end{eqnarray*}$ .
Meine Frage ist: Ist folgendes äquivalent:
$\begin{eqnarray*} \text{M ist nicht abgeschlossen bzgl. +} \Leftrightarrow \forall 0 \ne x \in M: \exists y \in M: x + y \notin M \end{eqnarray*}$
Natürlich ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ von Interesse :-)

Dies wäre praktisch für einen Beweis den ich für meine Abschlussarbeit erbringen muss.

Meine Ideen:
Naja meine Ideen sind eher mau, vor allem weiß ich ja nicht einmal, ob as überhaupt stimmt... . Wenn M nicht abgeschlossen ist, gilt $\begin{eqnarray*} \exists a,b \in M: a+b \notin M. \end{eqnarray*}$ Jetzt nehme ich an, dass $\begin{eqnarray*} \forall y \in M: x + y \in M \end{eqnarray*}$ und möchte das zu einem Widerspruch führen.
Und da bin ich verloren.
$\begin{eqnarray*} x + a, x + b \in M \end{eqnarray*}$ aber das bringt mir nicht viel. Denn, es gilt zwar $\begin{eqnarray*} x + a + x + b = a + b \notin M \end{eqnarray*}$ , aber über die Addition von $\begin{eqnarray*} x+a \text{ und } x+b \end{eqnarray*}$ kann ich keine Aussage treffen.

So viel also von mir... .

Danke im Voraus
tata

13.06.2014, 21:31

RavenOnJ

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RE: Menge nicht abgeschlossen, wie zeigen?

Zitat:

Original von tata

$\begin{eqnarray*} \text{M ist nicht abgeschlossen bzgl. +} \Leftrightarrow {\color{red}\forall} 0 \ne x \in M: \exists y \in M: x + y \notin M \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach gilt nur folgende Äquivalenz:
$\begin{eqnarray*} \small\text{M ist nicht abgeschlossen bzgl. +} \Leftrightarrow \exists 0 \not= x,0 \not= y\in M: x + y \notin M \end{eqnarray*}$

Diese Äquivalenz ist nur die Negation der Definition für Abgeschlossenheit.

Es kann also durchaus $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} \forall y\in M: x+y \in M \end{eqnarray*}$
Hauptsache es gibt ein x, für das das nicht erfüllt ist.

Oder willst du zeigen, dass deine Verschärfung speziell für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2^n \end{eqnarray*}$ gilt?

13.06.2014, 21:56

tata123

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Ja genau, es soll nur der Spezialfall $\begin{eqnarray*} V = {Z_2}^n \end{eqnarray*}$ beachtrt werden. Hättest du für nen anderen Vektorraum ein Gegenbeispiel? (Interesse halber)

13.06.2014, 22:33

RavenOnJ

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Nimm beispielsweise $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M:=\{(x,0)|x\in \mathbb R\} \cap \{(x,1)|x\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich gilt $\begin{eqnarray*} \forall (x,0) \forall (y,z)\in M: (x,0)+(y,z)\in M \end{eqnarray*}$ aber für $\begin{eqnarray*} (x,1) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} (x,1)+(x,1)= (2x,2)\notin M \end{eqnarray*}$ . Also ist M nicht abgeschlossen.

13.06.2014, 23:03

tata123

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Ah okay danke.
Hast du ne Idee zu meinem speziellen Fall?

14.06.2014, 01:12

RavenOnJ

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Es ist ja $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb Z_2^n: x+x =0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass mit gegebenem $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb Z_2^n \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb Z_2^n \exists x_1\in\mathbb Z_2^n:x_0+x_1 = x \end{eqnarray*}$ .

Da du ja weißt, dass gilt
$\begin{eqnarray*} M\small\text{ nicht abgeschlossen }\Rightarrow\exists x_0\exists y_0:x_0+y_0\notin M \end{eqnarray*}$ ,
kannst du eine 0 addieren und kommst zu deinem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \forall x\in M\exists x_1\in M \exists y\in M: M\not\ni x_0+y_0 = x_0+0 + y_0= x_0+x_1+x_1 + y_0 = x +x_1 + y_0 = x + y\notin M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=x_1+y_0 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Bin durch Chile-Australien abgelenkt Augenzwinkern

14.06.2014, 01:40

tata123

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass mit gegebenem $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb Z_2^n \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb Z_2^n \exists x_1\in\mathbb Z_2^n:x_0+x_1 = x \end{eqnarray*}$ .

Das ist in der Tat nützlich! Und der Beweis auch einfach :-)

Deiner unteren Gleichungskette kann ich folgen, aber ich frage mich, warum gelten muss, dass $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$ gilt. Klar ist, dass $\begin{eqnarray*} x_1,y_0 \in M \end{eqnarray*}$ , aber dass die Addition drin ist, muss ja nicht gegeben sein, oder übersehe ich etwas?

14.06.2014, 01:46

RavenOnJ

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Zitat:

Original von tata123

Deiner unteren Gleichungskette kann ich folgen, aber ich frage mich, warum gelten muss, dass $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$ gilt. Klar ist, dass $\begin{eqnarray*} x_1,y_0 \in M \end{eqnarray*}$ , aber dass die Addition drin ist, muss ja nicht gegeben sein, oder übersehe ich etwas?

Da hast du recht, bin wie gesagt abgelenkt Augenzwinkern

. Werde nochmal darüber nachdenken.

18.06.2014, 15:17

tata123

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Hallo

kurze Rückmeldung. Die Behauptung ist nicht richtig, deswegen war es auch schwer, sie zu beweisen :-)

Ein kleines Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} Sei \; M = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1)\} \end{eqnarray*}$ dann ist für
$\begin{eqnarray*} a = (1,0,0) : a + x \in M, \forall x \in M. \; aber \; (0,0,1) + (0,1,0) = (0,1,1) \notin M. \end{eqnarray*}$

Gruß tata

18.06.2014, 16:58

RavenOnJ

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Zitat:

Original von tata123
Ein kleines Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} Sei \; M = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1)\} \end{eqnarray*}$ dann ist für
$\begin{eqnarray*} a = (1,0,0) : a + x \in M, \forall x \in M. \; aber \; (0,0,1) + (0,1,0) = (0,1,1) \notin M. \end{eqnarray*}$

Stimmt leider nicht:
$\begin{eqnarray*} a+a=0\not\in M \end{eqnarray*}$

Ich habe den Verdacht, dass die Aussage stimmt, es fehlt mir aber bisher die zündende Beweisidee. Vielleicht kannst du alternativ diese Aussage beweisen:
$\begin{eqnarray*} \exists x \forall y\in M\subset \mathbb Z_2^n: x+y\in M\Rightarrow M\text{ abgeschlossen.} \end{eqnarray*}$

18.06.2014, 18:12

tata123

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Ja, sorry, hab die 0 vergessen, also
$\begin{eqnarray*} M = \{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1)\} \end{eqnarray*}$

Dann passt's

18.06.2014, 20:46

RavenOnJ

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OK, also widerlegt.

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