Wie kommt man auf diese Umformung?

15.06.2014, 15:26

mathenoobiehilfe

Wie kommt man auf diese Umformung?

Meine Frage:
Hallo Leute,

diese Gleichung gilt es nach N aufzulösen, ich komme aber einfach nicht auf das Ergebnis in der Lösung. Ich wette ich übersehe irgendeine Kleinigkeit oder habe irgendeine Rechenregel vergessen, wäre toll wenn ihr mir weiterhelfen könntet.

Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \alpha N^{\alpha - 1} K^{1- \alpha } = \frac{w}{p} \end{eqnarray*}$

soll nach N aufgelöst werden.

Meine Ideen:
Mein Versuch:

$\begin{eqnarray*} N= \left(\frac{w}{p\alpha K^{1- \alpha } } \right)^{\frac{1}{\alpha -1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N= \left(\frac{w}{p\alpha } \right)^{\frac{1}{\alpha -1} } \left(\frac{1}{K^{1-\alpha } } \right) ^{\frac{1}{\alpha -1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N= \left(\frac{w}{p\alpha } \right)^{\frac{1}{\alpha -1} } \left(\frac{1}{(K^{1-\alpha }) ^{\frac{1}{\alpha -1} } } \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N= \left(\frac{w}{p\alpha } \right)^{\frac{1}{\alpha -1} } \left(\frac{1}{K^{\frac{1-\alpha }{\alpha -1} } } \right) \end{eqnarray*}$

So und weiter bin ich einfach ratlos/unsicher was ich jetzt darf und was nicht und wie es weitergeht?

Die Lösung ist nämlich

$\begin{eqnarray*} N= \left(\frac{\alpha }{\frac{w}{p} } \right) ^{\frac{1}{1-\alpha } } K \end{eqnarray*}$

Fehlen mir einfach noch ein paar Schritte bis dahin (wenn ja welche?) oder bin ich komplett auf dem falschen Dampfer??

Wäre toll wenn jemand von euch Zeit und Lust hätte mir zu helfen !!

15.06.2014, 15:31

Equester

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Warum die Musterlösung da nen Doppelbruch hat, weiß ich nicht, das sieht bei dir besser aus Augenzwinkern

.
Aber der zweite Faktor kann bei dir noch vereinfach werden. Schau mal ob du beim Exponenten noch -1 im Zähler oder Nenner ausklammern kannst und dann....

15.06.2014, 15:35

magic_hero

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RE: Wie kommt man auf diese Umformung?

Zitat:

Original von mathenoobiehilfe
So und weiter bin ich einfach ratlos/unsicher was ich jetzt darf und was nicht und wie es weitergeht?

Konkret weißt du was nicht?

Zitat:

Original von mathenoobiehilfe
Fehlen mir einfach noch ein paar Schritte bis dahin (wenn ja welche?) oder bin ich komplett auf dem falschen Dampfer??

Deine Lösung ist äquivalent zur anderen angegebenen. Du musst eiegntlich nur elementare Umformungen machen (hier: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{x})^{\frac{p}{q}}=x^{\frac{q}{p}} \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} 1-\alpha=-(\alpha-1) \end{eqnarray*}$ beachten.

/EDIT: War ich wohl etwas langsam... Equester kann hier ruhig weiter machen.

20.06.2014, 23:10

mathenoobiehilfe

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Hallo Leute,

sorry dass ich jetzt erst antworte, war die ganze Woche verhindert!

So, eure Tips haben mir aber schon sehr sehr weitergeholfen, vielen Dank!

Denke ich habs jetzt fast, ich habs jetzt soweit geschafft dass ich folgenden Term habe:

$\begin{eqnarray*} N=\left(\frac{w}{p} \right) ^{\frac{1}{\alpha -1} } \alpha ^{\alpha -1} K \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht

$\begin{eqnarray*} N=\left(\frac{\alpha }{\frac{w}{p} } \right) ^{\frac{1}{1-\alpha } } K \end{eqnarray*}$

Ich ahne ja schon dass es damit zu tun hat dass man doch irgendwie Zähler und Nenner vertauschen kann wenn man Zähler und Nenner in der Potenz vertauscht oder irgendwie so ? Aber genau weiß ich das nicht und versteh das grad noch nicht so ganz..

Einer von Euch meinte ja die Lösung sähe umständlicher aus: das liegt daran dass in der Aufgabenstellung explizit nach einem N als Funktion von w/p gefragt ist!

21.06.2014, 00:25

Equester

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Ne, jetzt haste da was falsch gemacht. Wie kommste denn da drauf?

Du warst doch schon hier:

$\begin{eqnarray*} N= \left(\frac{w}{p\alpha } \right)^{\frac{1}{\alpha -1} } \left(\frac{1}{K^{\frac{1-\alpha }{\alpha -1} } } \right) \end{eqnarray*}$

Schreibe das K noch um und tu mal in der ersten Klammer den Kehrbruch anwenden (dadurch kriegen wir ja einen Exponenten -1, den wir rausziehen können...so wie wirs wollen).

Dann noch eine Kleinigkeit und wir sind fertig Augenzwinkern

22.06.2014, 20:29

mathenoobiehilfe

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Okay ich hab keine Ahnung was ich da oben dann falsch gemacht habe :/

Ich hab jetzt mal mit ab dem weitergemacht wo ichs noch richtig hatte, 1-alpha ist ja -(alpha-1), dadurch hat das K ein -1 im Exponenten, also ist es 1/K, 1 durch 1/K ist gleich K.

Das Alpha hab ich getrennt indem ich w/p mal 1/alpha draus gemacht habe, also mal alpha ^-1.

Wenn man eine Hochzahl hoch etwas hat multipliziert man ja die Hochzahlen, also steht bei mir jetzt folgendes da:

$\begin{eqnarray*} \frac{w}{p} ^{\frac{1}{\alpha -1} } \alpha ^{-\frac{1}{\alpha -1} } K \end{eqnarray*}$

Welcher letzte Schritt fehlt mir ? :/

22.06.2014, 22:29

Equester

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Genau, das sieht gut aus.
Lupfe nun das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in den ersten Faktor. Dabei gilt:

$\begin{eqnarray*} \alpha ^{-\frac{1}{\alpha -1} } = (\alpha ^{-1})^{\frac{1}{\alpha-1}} \end{eqnarray*}$

also (habe das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gleich in den Nenner):

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{w}{p}\right)^{\frac{1}{\alpha -1} } \alpha ^{-\frac{1}{\alpha -1} } K = \left(\frac{w}{p\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha -1} } K \end{eqnarray*}$

So jetzt du wieder. Tausche in der Klammer Zähler und Nenner...dann musst du den Exponenten ja -1 nehmen. Dann ordne in der Klammer nur noch so, wie du es haben willst Augenzwinkern

22.06.2014, 23:56

mathenoobiehilfe

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Ich glaube ich habs:

Erst wieder die Tatsache (alpha-1) = - (1-alpha), das steht dann im Nenner der Hochzahl hinter der Klammer, um aus dem Minus ein Plus zu machen Zähler und Nenner der Basis vertauschen, also steht da dann

$\begin{eqnarray*} \frac{p\alpha }{w} ^{\frac{1}{1-\alpha } } \end{eqnarray*}$

das ist

$\begin{eqnarray*} \left(\alpha \frac{p}{w}\right) ^{\frac{1}{1-\alpha } } \end{eqnarray*}$

und Alpha MAL p durch w ist dasselbe wie Alpha DURCH w durch p also den Kehrwert und deshalb steht da dann

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha }{\frac{w}{p} } ^{\frac{1}{1-\alpha } } K \end{eqnarray*}$

smile

Vielen vielen Dank!!

Ist es okay sich das so auführlich herzuleiten ?

Und ich habe schonmal mit der nächsten Aufgabe weitergemacht, war an sich kein Problem, nur bin ich erst wieder an einem Kniff gescheitert den ich nicht verstanden hab, stand dann in der Lösung und das geht wohl, aber kannst Du mir erklären wieso folgendes geht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha } ^{\frac{\alpha }{\alpha -1} } = \alpha ^{\frac{\alpha }{1-\alpha } } \end{eqnarray*}$

Das versteh ich nicht so ganz :/

23.06.2014, 08:27

klarsoweit

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Beachte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha } = \alpha^{-1} \end{eqnarray*}$ . Der Rest ist Potenzregeln. smile

28.06.2014, 08:16

mathenoobiehilfe

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Ahhh okay ich habs, danke! smile

Manchmal echt wie son Brett vorm Kopf...

Sorry übrigens dass ich für eine Antwort ewig brauche, ich sitze nicht seit 3 Tagen an dieser Teilaufgabe sondern komme leider sonst nicht dazu mich wieder ranzusetzen, bin euch sehr dankbar für die Hilfe.

29.06.2014, 21:03

Equester

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Kein Ding. Dein Dank freut uns smile

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