Geraden auf Schnittpunkt prüfen

15.06.2014, 18:22

Horo

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Geraden auf Schnittpunkt prüfen

Edit (mY+): "Dringende" Hilferufe haben bitte hier nichts zu suchen, schon gar nicht im Titel! Damit verärgerst du die Helfer nur. Modifiziert.

Meine Frage:
Hallo,

mein Problem ist folgendes:
Ich habe die Aufgabe vollkommen berechnet, jedoch erscheint mir das Ergebnis als falsch.

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Die Transportwege zweier LKWs mit USB-Sticks werden angegeben durch zwei Punkte (Anfangs- und Endpunkt) in einem kartesischen Koordinatensystem.

LKW1 fährt von A nach B und LKW 2 fährt von C nach D

A(-3/-2/-4) B(7/3/1) C (-2/3/0) D(13/-3/-3)

Prüfen Sie rechnerisch, ob sich ihre Wege kreuzen.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Meine Ideen:
(Erst einmal beachtet nicht die fehlenden Pfeile bei den Vektoren, denn ich habe keine Ahnung wie man die hier schreibt).

Zu aller erst habe ich B-A und D-C berechnet und daraus habe ich die Vektoren:
AB= (10/5/5) und CD= (15/-6/-3) erhalten.

Danach habe ich folgende Gleichung heraus bekommen:

g:x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

h:x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 15\\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun folgt das Gleichungssystem:

I -3+10t = -2+15r
II -2+ 5t = 3- 6r
III -4+ 5t = 0+ 3r

Danach habe ich folgende Gleichungen genutzt um t raus zu schmeißen:

II +(-1)*III

-2+5t = 3-6r
4-5t = 0-3r

Habe darauf das Additionsverfahren genutzt und für r= 0,111 heraus bekommen.
Als nächstes habe ich r in die erste Gleichung eingesetzt und bekam für t= 0,27 heraus.

Nun habe ich t in g:x eingesetzt und bekam heraus:

g:x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 0,27* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,3 \\ -0,65 \\ -2,65 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.06.2014, 18:33

Incognita

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Der Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{CD} \end{eqnarray*}$ stimmt, aber du hast anschließend beim Aufstellen der Geraden h im Richtungsvektor das Minus der dritten Koordinate vergessen und mit diesem Fehler weitergerechnet.

Darüberhinaus fehlt die Probe (oder wie prüft ihr auf Schnittpunkt/windschief?).

15.06.2014, 19:06

Horo

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Vielen dank, den Fehler habe ich gar nicht bemerkt.
Das ist echt peinlich Hammer

Hammer

Nun habe ich g:x= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2,95 \\ 0,975 \\ -1,025 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heraus bekommen.

Ist hier denn ein negativer Wert möglich? Kann mich nämlich nur dunkel daran erinnern, dass meine Lehrerin meinte, dass ein negativer Wert eigentlich nicht der Fall sein würde.

Ja mit der Probe haben wir bisher immer den Schnittpunkt berechnet.
Jedoch hauptsächlich nur von Gerade und Ebene.

Ich müsste dann auch beim Schnittpunkt von zwei Geraden nur r in h:x einsetzen oder?

15.06.2014, 19:20

Incognita

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Bei zwei Geraden ist eine Probe erfoderlich, weil man ein überbestimmtes Gleichungssystem hat (drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannte). Die Probe entscheidet darüber, ob die Geraden sich schneiden oder windschief sind.
Wenn du den Weg mit der Probe so nicht kennst, kannst du auch die Werte für die Parameter in beide Geraden einsetzen und prüfen, ob du dasselbe Ergebnis erhältst. Dauert länger, funktioniert aber auch.

Das Ergebnis stimmt aber immer noch nicht; ich habe ganzzahlige Koordinaten für den Schnittpunkt. Zeig mal deine neue Rechnung.

Zitat:

Ist hier denn ein negativer Wert möglich? Kann mich nämlich nur dunkel daran erinnern, dass meine Lehrerin meinte, dass ein negativer Wert eigentlich nicht der Fall sein würde.

Negative Koordinaten wären möglich. Die Werte für die Parameter müssen aber eine bestimmte Bedingung erfüllen, damit sich die LKWs auf der begrenzten Strecke treffen. Der Schnittpunkt könnte auch nur gemeinsamer Punkt der (unbegrenzten) Geraden sein.

Edit: Ich habe gerade den Verdacht, dass du wohl einfach nur gerundet hast, statt mit Brüchen zu rechnen bzw. rechnen zu lassen. Die Strafe folgte auf dem Fuße Big Laugh

Big Laugh

(unschöne Dezimalzahlen).

15.06.2014, 19:41

Horo

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Alles klar, vielen Dank erstmal, dass du dir die Zeit dafür nimmst.

II + (-1)*III

-2+5t = 3-6r
4-5t = 0+3r

2 = 3-3r (-2 und +3r)
3r = 1 (: 3)
r = 0,33...(Periode)

in I einsetzen:

-3+10t = -2+15*0,33
-3+10t = -2+2,95 (+3)
10t = 5,95 (: 10)
t = 0,595

und genau hier war mein Fehler, ich habe nämlich nicht aufgerundet

jetzt, wenn ich t einsetzen komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Werde jetzt gleich mal deinen Vorschlag annehmen und die Werte für Parameter in beide Geraden einsetzen.
Vielen Dank smile

smile

!

15.06.2014, 19:54

Incognita

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Der Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S(3|1|-1) \end{eqnarray*}$ der Geraden ist jetzt richtig. Freude

Freude

Zitat:

und genau hier war mein Fehler, ich habe nämlich nicht aufgerundet

Nein, dein Fehler war, dass du vorher $\begin{eqnarray*} r\approx 0{,}33 \end{eqnarray*}$ gerundet hast statt mit $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ zu rechnen. Dann kommt $\begin{eqnarray*} t=\frac{3}{5}=0{,}6 \end{eqnarray*}$ (exakt!) heraus.
Der Taschenrechner rechnet doch mit Brüchen. geschockt

geschockt

Bleibt noch die Frage: kreuzen sich die Wege der LKWs oder nicht? Und warum?

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15.06.2014, 20:21

Horo

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Super

smile

.

Ja, das macht der Taschenrechner schon, jedoch rechne ich ungern mit Brüchen, da ich mich da öfter mal vertue und solange der Taschenrechner Dezimalzahlen ausspuckt, rechne ich mit denen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Also ich habe nun sowohl t als auch r eingesetzt und heraus gefunden, dass beide Ergebnisse nicht übereinstimmen.

Habe mir eben nochmal meine alten Unterlagen angeschaut und würde sagen, dass sich die Wege der LKWs nicht kreuzen, da ihre Richtungsvektoren kein Vielfaches voneinander sind, bzw. sie nicht kollinear sind.

15.06.2014, 20:27

Incognita

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Ich vermute, du hast in die noch nicht korrigierte Geradengleichung h eingesetzt, denn tatsächlich schneiden sich die Geraden (was man nur sieht, wenn man die Brüche verwendet Lehrer

Lehrer

).

Wenn die Ergebnisse nicht übereinstimmen würden, hättest du mit deiner Schlussfolgerung recht.

Sie stimmen jedoch überein. Wie stellst du nun fest, ob sich die begrenzten Wege kreuzen?

15.06.2014, 20:35

Horo

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Oh stimmt, sitze schon so lange daran, dass ich die kleinsten Fehler gar nicht mehr entdecke Hammer

Hammer

.
Vielen Dank!

Habe es nun korrigiert und komme tatsächlich auf das gleiche Ergebnis.

Dazu habe ich leider keine Idee, da wir so etwas noch nie hatten unglücklich

unglücklich

.

15.06.2014, 20:40

Incognita

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Wenn ihr eine solche Frage noch nicht hattet, schauen wir uns mal die Koordinaten an:

LKW1: Start in A(-3/-2/-4); Ende in B(7/3/1).
Schnittpunkt S(3|1|-1)
Hast du eine Idee, wenn ich das so geordnet aufschreibe?

15.06.2014, 20:57

Horo

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Na ja, das einzige, was mir dazu einfällt wäre nur, dass wenn man die x-Koordinaten irgendwie berechnet, die von y und die von z und somit den Punkt heraus bekommt, an dem sich die beiden LKWs treffen.

Die einzige Idee, die ich noch hatte wäre ein Gleichungssystem, aufgrund der farblich markierten Koordinaten. Jedoch sehe ich darin nicht wirklich einen Sinn, da ich keine Ahnung hätte, wo man das Ergebnis einsetzen sollte.
Also würde ich sagen, dass dies schwachsinnig sei.

15.06.2014, 21:01

Incognita

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Ich meinte etwas viel einfacheres. Vergleich einfach mal die Koordinaten.

Die Alternative wäre (und darauf bezieht sich vermutlich die Bemerkung deiner Lehrerin), den Wert $\begin{eqnarray*} t=\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ anschaulich auf das Problem zu beziehen.

15.06.2014, 21:12

Horo

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Na ja, der x-Wert vom Start A und dem Schnittpunkt stimmen bis aufs Vorzeichen überein, genauso ist es mit dem z-Wert vom Endpunkt und dem Schnittpunkt.

Tut mir echt leid, aber ich komme einfach nicht darauf.

15.06.2014, 21:16

Incognita

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$\begin{eqnarray*} -3\leq 3\leq 7 \end{eqnarray*}$ (usw.)

Ein Punkt liegt auf einer Strecke, wenn er zwischen den Endpunkten der Strecke liegt.

15.06.2014, 21:26

Horo

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Sorry für die dumme Frage, aber:
in diesem Fall wäre auch -3 ein Endpunkt oder wird er Anfangspunkt genannt?

Ansonsten wäre mir das nun auch alles klar.

Vielen lieben Dank für deine Geduld und Hilfe smile

smile

!

15.06.2014, 21:35

Incognita

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A(-3/-2/-4) ist in der Aufgabe der Anfangspunkt, da hier der LKW startet, B(7/3/1) der Endpunkt.
Da man im Allgemeinen jedoch nicht unterscheiden kann, welcher Punkt einer Strecke Anfangs- und welcher Endpunkt ist (eine Strecke ist nicht gerichtet), nennt man oft beide Endpunkte.

Am Parameter $\begin{eqnarray*} t=\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ kann man übrigens ablesen, dass LKW1 $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ der Strecke von A nach B zurückgelegt hat, sich also zwischen A und B befindet. $\begin{eqnarray*} t=\frac{6}{5}>1 \end{eqnarray*}$ würde dagegen bedeuten, dass der LKW übers Ziel hinausgeschossen ist.

Die gleiche Überlegung musst du übrigens noch für den anderen LKW anstellen.

Freut mich. dass ich helfen konnte. smile

smile

Wink

15.06.2014, 21:39

Horo

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Nun ist aber alles klar.

Noch ein letztes Mal: vielen Dank auch hierfür smile

smile

Wink

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