Dimension v. Abb. und Hyperebenen

16.06.2014, 16:19

ann1

Dimension v. Abb. und Hyperebenen

Wenn ich eine Abb

IR^2->IR habe, kommt ein Graph in IR^3 heraus, also etwas 3Dimensionales. (?)

Wenn ich darin nun in einem Pkt differenzieren kann, so besteht die Ableitung aus einer 2-dimensionalen Hyperebene, die im IR^3 liegt.
Das Ding heisst Hyperbene, weil es selbst 2dimensional ist, jedoch in einem 3dimensionalen Raum liegt. (?)

Dass diese Tangentialeben eine Dimension kleiner ist/einen Basisvektor weniger hat, ist logisch, "da beim Differenzieren ja eine Dimension verloren geht" (gleichbedeutend damit, dass bei einem Polynom der Exponent verrignert wird) (?)

Stimmt das alles?

17.06.2014, 19:38

ann1

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...bin mir ziemlich sicher, dass das jmd zu beantworten weiß...

17.06.2014, 20:01

Dopap

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eine differenzierbare Funktion z=z(x,y) = ... ist nichts 3-dimensionales, sondern eine 2-dimensionale Fläche. z.B. ist

$\begin{eqnarray*} z=z(x,y) =\sqrt{1-x^2+-y^2} \end{eqnarray*}$ eine HalbkugelRandfläche.

Die partiellen Ableitungen liefern den Gradienten, und das ist ein Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ,der die Richtung des stärksten Anstiegs (der Fläche ) angibt.

Ich sehe keinen Zusammenhang mit einer Tangentialebene.

Hyperebenen nennt man jede lineare Gleichung in einem Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit n>3

17.06.2014, 21:44

mYthos

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Weshalb ist eine Halbkugelfläche nicht 3-dimensional? Was macht dann eigentlich die Variable z?

17.06.2014, 22:51

Dopap

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ich meine kurzgeschrieben Folgendes: die Punktmenge ist selbstredend eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ hat kein(en) Volumen(inhalt), aber einen Flächeninhalt

18.06.2014, 14:46

ann1

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Zitat:

Original von Dopap
...
Hyperebenen nennt man jede lineare Gleichung in einem Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit n>3

Wie vertraegt sich das mit der Aussage aus Wikipedia: (?)

"Als (lineare) Hyperebenen werden in der linearen Algebra diejenigen Unterräume eines Vektorraums bezeichnet, die von genau einem Basisvektor weniger aufgespannt werden als der Gesamtraum."

Ist das äquivalent?

Nochmal zu ersterem Zitat:
Eine lin. Gleichung in einem mehrdim. Raum kann doch auch eine "Linie"/Kurve darstellen, also ich meine etwas mit einem(!) Basisvektor. Für eine Ebene brauche ich immer 2 Basisvektoren, oder?

18.06.2014, 17:29

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap
...
Hyperebenen nennt man jede lineare Gleichung in einem Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit n>3

Ich möchte präzisieren:

Hyperebenen nennt man die Lösungsmenge jeder linearen Gleichung in einem Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit n>3

Zitat:

ich würde sagen : ja, insbesondere dann, wenn man den Zahlenraum als Zahlenvektorraum betrachtet, der ja grundsätzlich auch ein Vektorraum ist.

Zitat:

Eine lin. Gleichung in einem mehrdim. Raum kann doch auch eine "Linie"/Kurve darstellen, also ich meine etwas mit einem(!) Basisvektor.

nein. eine Gerade im Raum ist nicht Lösungsmenge einer linearen Gleichung.
z.b. ist auch die Lösungsmenge von $\begin{eqnarray*} 3x_2=5\quad \text{im} \, \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ eine Ebene.

Zitat:

Für eine Ebene brauche ich immer 2 Basisvektoren, oder?

ja, im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ (siehe oben ) , aber das gilt nicht für andere Dimensionen, so ist z.B. die Lösungsmenge von $\begin{eqnarray*} x_1-9x_2+3x_4=7 \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ eine Hyperebene, und benötigt 3 Spannvektoren.

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