Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix |
| 16.06.2014, 21:54 | tobisn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix Jetzt soll ich also die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen. Um die Eigenwerte zu bestimmen muss ja gelten: Regel von Sarrus, dann erhalte ich am Ende das Char.Polynom, welches die Eigenwerte angibt, mit deren Hilfe ich die Eigenvektoren bestimmen kann (einfach für Lambda in die Gleichung einsetzen). Nun komme ich auf die tollsten Ergebnisse überhaupt. Mein Char.Polynom sieht wie folgt aus: Damit lässt sich aber nichts anstellen. Ich erhalte völlig diffuse Zahlen durch die PQ-Formel und das lässt einiges an Chaos, beim bestimmen der Eigenvektoren vermuten. Wie immer: Tipps und Hinweise gern gesehen! Ergänzung: Neues Ergebnis Wohl ein paar Zahlen unterschlagen *lach* |
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| 16.06.2014, 22:12 | voodoo666 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die PQ Formel hilft dir bei der Bestimmung der Lösung einer quadratischen Gleichung! Du hast da jedoch ein Polynom vom Grad 3! Tipp: Bei solchen Aufgaben sind die Eigenwerte meist ganze Zahlen. Probier den ersten Eigenwert zu raten. Erfahrungsgemäß ist es irgendwo zwischen -5 und 5. Wenn du einen Eigenwert hast, dann mach Polynomdivision, teile dein Polynom durch (x-z) wobei z dein ermittelter Eigenwert ist. Du erhälst ein Polynom vom Grad 2. Jetzt kannst du die PQ Formel anwenden 
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| 16.06.2014, 22:59 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kurzer Einschub: Anstatt zu raten, kann man hier auch prima nach der ersten Spalte entwickeln. |
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| 16.06.2014, 23:23 | tobisn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für den Tipp. Ich hab jetzt anhand der ersten Spalte entwickelt und erhalte die Determinante A = 0. Aber wie kann mir das jetzt im Hinblick auf die Ermittlung der Eigenwerte weiterhelfen? |
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| 16.06.2014, 23:27 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das nützt sicher nichts, weil falsch. Dein zweiter Versuch des char. Polynoms ist übrigens richtig. |
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| 16.06.2014, 23:30 | Mathesüchtiger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Determinante 0 wäre, wäre 0 auch ein Eigenwert der Matrix, was nicht sein kann, da 0 nicht eine Nullstelle deines charakteristischen Polynoms ist. |
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| 16.06.2014, 23:47 | tobisn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich merk schon. Bei dem Thema habe ich dezenten Nachholbedarf. Wo ich seit Stunden hänge ist: Aus den gewonnen Nullstellen x1 = -5, x2= 3, x3 = 6 Jetzt die Eigenvektoren zu basteln. Beim ersten Eigenvektor: Also kann ich x3 beliebig wählen. Aber da kommen schon wieder die allerbesten Bruchzahlen heraus. |
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| 17.06.2014, 00:09 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, und? 
Brüche in Vektoren sind doch nicht verboten.Bei Eigenvektoren kann man sich Brüche natürlich leicht vom Hals schaffen, denn Eigenvektoren sind nicht eindeutig. Oder anders formuliert: Es hindert dich niemand daran, x_3 geschickt, hier z.B. x_3=11, zu wählen |
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| 18.06.2014, 15:38 | tobisn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Hinweise. Ich hab es doch noch zu Ergebnissen gebracht 
Gibt es eine schnellere/effektivere Methode bei einer kubischen Funktion an die Nullstellen zu kommen, außer die erste Nullstelle zu raten und mit der Polynomdivision fortzufahren? Beispielsweise bei: Kann man ja ein x ausklammern, hätte dann x1 = 0 und könnte dann beliebig die Polynomdivision durchführen. Gibt es sonst noch Tricks/Kniffe? |
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| 18.06.2014, 17:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn es Spaß macht, kannst du dich ja damit mal beschäftigen: http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
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