Ideale von Z/24Z

17.06.2014, 12:14

Traumtänzerin

Ideale von Z/24Z

Meine Frage:
Meine Aufgabe ist es, alle Ideale von Z/24Z zu bestimmen (und zu zeigen, dass diese in Bijektionen mit Idealen von Z stehen, die 24Z enthalten)

Aber da ich schon am ersten Teil scheitere, habe ich zum zweiten noch nicht mal einen Ansatz

Meine Ideen:
Ich glaube ich hänge etwas beim Verständnis von Idealen. Jedenfalls habe ich keine Ahnung wie ich ALLE finden soll, und woher ich dann wissen soll, dass ich auch wirklich alle gefunden habe Erstaunt1

Vermutlich liege ich völlig falsch, aber mein erster Gedanke war, dass ich ja nur Hauptideal habe.

$\begin{eqnarray*} \forall a \in R \end{eqnarray*}$ muss ja gelten das $\begin{eqnarray*} \left(a\right) = aR \left\{ar | r\in R \right\} \end{eqnarray*}$

So, nun dachte ich mir, dass ich mich wenn ich mich in den Restklassen befinde, ja auch immer in der entsprechenden lande, wenn ich ein Elemten aus ihr, mit einem anderen aus dieser multipliziere ?

Hieße also das $\begin{eqnarray*} \forall a \in R \left(a\right) = aR \left\{ar | r\in R \right\} ist \left(a\right) \end{eqnarray*}$ ein Hauptideal - womit ich ja schonmal 24 Ideale hätte?

Mein zweiter Gedanke war, das ja auch für alle Gruppen (?) der Form aZ (wobei a aus Z/24Z) gelten würde das Sie ideal sind, oder?

Also zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z = \left\{..,-4,-2,0,2,4,..\right\} \end{eqnarray*}$ und das wäre ja keine Hauptideal, weil ich kein Erzeugendes Element (?) aus Z/24Z finden kann, welches die ganze Gruppe (?) erzeugt. Aber trotzdem bin ich der Meinugen das es ein ideal ist, weil ja die Bedingung für ein Ideal I eines Ringes R erfüllt ist, nämlich dass gilt: $\begin{eqnarray*} \forall r_1, r_2,a \in I , \forall r \in R \Rightarrow r_1 - r_2 \in I , a \cdot r \in I , r \cdot a \in I \end{eqnarray*}$
Also für diese Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \forall r_1, r_2,a \in 2\mathbb Z , \forall r \in \mathbb Z/24\mathbb Z \Rightarrow r_1 - r_2 \in I , a \cdot r \in I , r \cdot a \in I \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich nicht total falsch liege Tränen

und mir jemand auf die Sprünge helfen kann smile

17.06.2014, 12:38

Captain Kirk

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Hallo,

ein Ideal I eines Rings R ist zuallererst mal eine Teilmenge von R.
Das ist hier nicht der Fall:

Zitat:

Also zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z = \left\{..,-4,-2,0,2,4,..\right\} \end{eqnarray*}$ und das wäre ja keine Hauptideal, weil ich kein Erzeugendes Element (?) aus Z/24Z finden kann, welches die ganze Gruppe (?) erzeugt. Aber trotzdem bin ich der Meinugen das es ein ideal ist, weil ja die Bedingung für ein Ideal I eines Ringes R erfüllt ist, nämlich dass gilt:

Die Bedingungern sind auch nicht erfüllt, denn die Multipliaktion ist hier gar nicht definiert, was soll denn z.b. $\begin{eqnarray*} \bar{2}\cdot 2 = \bar{26} \cdot 2= \ldots \end{eqnarray*}$ sein ?

Zitat:

Hieße also das $\begin{eqnarray*} \forall a \in R \left(a\right) = aR \left\{ar | r\in R \right\} ist \left(a\right) \end{eqnarray*}$ ein Hauptideal - womit ich ja schonmal 24 Ideale hätte?

Ja, das ist gerade die Def. von Hauptideal. Die Schlußfolgerung ist falsch, es ist z.B. (1)=(5)=(7)=... in diesem Ring.

17.06.2014, 12:46

Traumtänzerin

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Ahh stimmt, steht hier ja auch das ein Ideal eine Teilmenge des Rings ist, das hab ich jetzt ganz außer Acht gelassen. Hammer

Also stimmt es aber, dass ich in meinem Ring nur Hauptideale finden kann und das ich mit jedem Elemten aus meinem Ring ein Hauptideal erzeuge ? ABER ich muss anschließend noch gucken, welche Ideale die gleichen Elemten haben und kann/muss diese als ein Ideal schreiben ?

merci Freude

17.06.2014, 12:54

Captain Kirk

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Ja, das kann man so machen.

17.06.2014, 12:57

Traumtänzerin

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Und habe ich dann alle gefunden?

Ich hab nirgendwo herausfinden können, wie ich weiß, ob ich alle habe ..

17.06.2014, 13:07

Captain Kirk

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Ja.

Zitat:

Ich hab nirgendwo herausfinden können, wie ich weiß, ob ich alle habe ..

Wie wärs damit indem das zeigst? Also, deine Behauptung jedes Ideal wäre ein Hauptideal.

17.06.2014, 13:12

Traumtänzerin

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Oki, ich versuchs smile

Erstmal muss ich alle finden :p

21.06.2014, 17:39

mathe007

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Hey also wenn ich das richtig verstanden habe suche ich mir die Teiler von 24 und die Bilder dieser Zahlen sind dann die Ideale.
Kann man das so aufschreiben I_n = <n + Z/24Z >
Und kann das einer noch mal kurz erläutern bitte iwie bin ich mit dem Thema noch nicht ganz im grünen =)

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