Durchmesser eines Kreises als Funktion einer Seitenlänge (Trigonometrie)

17.06.2014, 12:25

D. S.

Durchmesser eines Kreises als Funktion einer Seitenlänge (Trigonometrie)

Meine Frage:
Hallo.

Ich suche verzweifelt nach der Gleichung die den Durchmesser des Kreises als Funktion der Länge a beschreibt. (siehe Bild)
Dachte zuerst es wäre ganz einfach stehe aber jetzt total an.

Meine Ideen:
Habe es über ähnliche Dreiecke versucht. Komme aber nicht auf die Lsg.

17.06.2014, 14:17

riwe

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RE: Durchmesser eines Kreises als Funktion einer Seitenlänge (Trigonometrie)
der Cosinussatz ist sehr hilfreich Augenzwinkern

22.06.2014, 08:10

riwe

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RE: Durchmesser eines Kreises als Funktion einer Seitenlänge (Trigonometrie)
weil es so ein hübscher kurzer Ausdruck ist, mit s = 400 gilt für den Radius r(a)

$\begin{eqnarray*} r=s\cdot\frac{\sqrt{(2+\sqrt{2})\cdot((2\cdot\sqrt{2}-3)\cdot s^2+a^2)}+\sqrt{(2-\sqrt{2})\cdot((2\cdot\sqrt{2}+3)\cdot s^2-a^2)}}{(\sqrt{2+\sqrt{2}}-\sqrt{2-\sqrt{2}})\cdot\sqrt{(2\cdot\sqrt{2}-3)\cdot s^2+a^2}+(\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2}})\cdot\sqrt{(2\cdot\sqrt{2}+3)\cdot s^2-a^2}} \end{eqnarray*}$

26.06.2014, 01:11

frank09

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RE: Durchmesser eines Kreises als Funktion einer Seitenlänge (Trigonometrie)
Diese Funktion kann allein deswegen schon nicht stimmen, weil sie für kein infrage kommendes a überhaupt definiert ist! Für a=s werden viele Radikanden negativ.

Die richtige Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} r(a)=s\cdot\frac{3-a^2+\sqrt{-a^4+6a^2-1}}{10-2a^2} \end{eqnarray*}$

Um die Richtigkeit nachvollziehen zu können, habe ich den Graphen und zwei
Fälle für s=1 abgebildet.

Wegen der besseren Übersicht kann man zunächst von s=1 ausgehen.
Der Kreis ist an der Y-Achse gespiegelt, damit alle Mittelpunkte der Kreise verschiedener Radien auf der Geraden x=y liegen und somit gilt M(r|r).
Die bewegliche rechte Strecke s schließt mit der Senkrechten den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ein.
Man kann sie als Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v_1}=\begin{pmatrix} \sin \alpha \\ \cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darstellen. Zusammen mit der unteren Strecke s $\begin{eqnarray*} \vec{v_2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ergeben sich zwei Tangenten, deren Winkelhalbierende g parallel
zu $\begin{eqnarray*} \vec{v_1}+\vec{v_2}=\begin{pmatrix} \sin \alpha-1 \\ \cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
verläuft:
Winkelhalbierende $\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} \sin \alpha-1 \\ \cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
g geht durch den MittelpunktM(r|r), dessen beide Koordinaten gleich sind, also muss gelten:

$\begin{eqnarray*} 1+t(\sin \alpha-1)=t \cos \alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow t=\frac{1}{\cos \alpha-\sin \alpha+1} \end{eqnarray*}$

nun Einsetzen:
$\begin{eqnarray*} y=t \cos \alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha+1} \end{eqnarray*}$

wegen x=y=r:
$\begin{eqnarray*} r=\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha+1} \end{eqnarray*}$

Um nun $\begin{eqnarray*} \cos \alpha \end{eqnarray*}$ durch a auszudrücken muss man die Beziehung

$\begin{eqnarray*} (1+\sin \alpha)^2+(1-\cos \alpha)^2=a^2 \end{eqnarray*}$
verwenden.

Ist nicht einfach, aber ich kann noch Tipps geben.

26.06.2014, 09:03

Leopold

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Die Struktur meines Termes ist ähnlich:

$\begin{eqnarray*} r(a) = s \cdot \frac{3s^2-a^2+\sqrt{-a^4+6 a^2 s^2-s^4}}{2(5s^2-a^2)} \end{eqnarray*}$

Das scheint mit dem Spezialfall $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ zusammenzuhängen. Führt man nämlich das Verhältnis $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{a}{s} \end{eqnarray*}$ ein, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} r(\lambda s) = s \cdot \frac{3 - \lambda^2 + \sqrt{- \lambda^4 + 6 \lambda^2 - 1}}{2(5-\lambda^2)} \end{eqnarray*}$

26.06.2014, 09:32

HAL 9000

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Einen für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ definierten einzelnen Term kriegt man wohl nicht hin:

$\begin{eqnarray*} r(\lambda s) = s \cdot \frac{3 - \lambda^2 + \sqrt{- \lambda^4 + 6 \lambda^2 - 1}}{2(5-\lambda^2)} \end{eqnarray*}$

hat bei $\begin{eqnarray*} \lambda=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ (das Viereck entartet zum rechtwinkligen Dreieck mit a als Hypotenuse) eine hebbare Definitionslücke. Mit $\begin{eqnarray*} (3 - \lambda^2 - \sqrt{- \lambda^4 + 6 \lambda^2 - 1}) \end{eqnarray*}$ "binomisch" erweitert ergibt sich

$\begin{eqnarray*} r(\lambda s) = s \cdot \frac{1-\lambda^2}{3 - \lambda^2 - \sqrt{- \lambda^4 + 6 \lambda^2 - 1}} \end{eqnarray*}$ ,

was aber wiederum für $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ (entspricht Quadrat) eine hebbare Definitionslücke aufweist. Zumindest taugt die zweite Formel, den Grenzfall $\begin{eqnarray*} r(\sqrt{5} s) = s \end{eqnarray*}$ auszurechnen. Augenzwinkern

26.06.2014, 15:08

riwe

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na wenn ich schon von allen Seiten Prügel beziehe,
ich erhalte im relevanten Bereich, also

$\begin{eqnarray*} s\cdot(\sqrt{2}-1)\leq a\leq s\cdot \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

blöderweise immer den richtigen Radius r(a)

insbesondere gebe ich das Kompliment von frank09, dessen sonstige Beiträge ich toll finde, gerne zurück, seine Formel kann so sicher nicht stimmen,
ohne den Faktor s in der wurzel, man setze nur (als Hausnummer) a = 10 unglücklich

naja,irgendwer wird schon recht haben Augenzwinkern

Spaß muß ja schließlich auch noch außerhalb des Fußballfeldes sein Augenzwinkern

26.06.2014, 16:15

HAL 9000

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@Werner

Von meiner Seite beziehst du keine Prügel - ich hab mich nur an Leopolds Formel orientiert, da ich genau dasselbe raushatte.

Wenn ich mir deine Formel anschaue, kann ich zunächst mal feststellen, dass das hier

Zitat:

Original von frank09
Für a=s werden viele Radikanden negativ.

schon mal völliger Quatsch ist. unglücklich

Von der Struktur her hast du mit Leopolds $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{a}{s} \end{eqnarray*}$ geschrieben die Formel

$\begin{eqnarray*} r= s\frac{t\sqrt{v}+u\sqrt{w}}{(t-u)\sqrt{v}+(t+u)\sqrt{w}} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} t:=\sqrt{2+\sqrt{2}},u:=\sqrt{2-\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v:=2\sqrt{2}-3+\lambda^2,w:=2\sqrt{2}+3-\lambda^2 \end{eqnarray*}$ .

Binomisch erweitert mit $\begin{eqnarray*} (t\sqrt{v}-u\sqrt{w}) \end{eqnarray*}$ ist also

$\begin{eqnarray*} r = s\frac{t^2v-u^2w}{t(t-u)v+t(t+u)\sqrt{vw}-u(t-u)\sqrt{vw}-u(t+u)w} = s\frac{t^2v-u^2w}{(t^2-ut)v+(t^2+u^2)\sqrt{vw}-(tu+u^2)w} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} t^2=2+\sqrt{2},u^2=2-\sqrt{2},tu=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und daher

$\begin{eqnarray*} r = s\frac{(2+\sqrt{2})v-(2-\sqrt{2})w}{2v+4\sqrt{vw}-2w} = s\frac{2(v-w) + \sqrt{2}(v+w)}{2(v-w)+4\sqrt{vw}} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} v-w= 2(\lambda^2-3),v+w = 4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} vw = 8-(\lambda^2-3)^2 = -\lambda^4+6\lambda^2-1 \end{eqnarray*}$ folgt weiter

$\begin{eqnarray*} r = s\frac{4(\lambda^2-3) + 8}{4(\lambda^2-3)+4\sqrt{-\lambda^4+6\lambda^2-1}} = s\frac{\lambda^2-1}{\lambda^2-3+\sqrt{-\lambda^4+6\lambda^2-1}} \end{eqnarray*}$ ,

also (bis auf die sich aufhebenden Vorzeichen in Zähler und Nenner) die Formel, die ich zuletzt hingeschrieben hatte. Trotz der vielen Wurzeln hat deine Formel den Vorteil, nicht von den Definitionslücken $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ betroffen zu sein.

P.S.: Mit $\begin{eqnarray*} p:=\sqrt{2}+1,q=\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ lässt sich deine Formel schreiben als

$\begin{eqnarray*} r = \frac{s}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{p(\lambda^2-q^2)}+\sqrt{q(p^2-\lambda^2)}}{\sqrt{q(\lambda^2-q^2)}+\sqrt{p(p^2-\lambda^2})} = \frac{s}{\sqrt{2}} \cdot \frac{p\sqrt{\lambda^2-q^2}+\sqrt{p^2-\lambda^2}}{\sqrt{\lambda^2-q^2}+p\sqrt{p^2-\lambda^2}} \end{eqnarray*}$

womit auch sofort klar ist, dass im Intervall $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-1 = q\leq \lambda \leq p = \sqrt{2}+1 \end{eqnarray*}$ alles sauber definiert ist, insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} \lambda=\sqrt{5} < \sqrt{2}+1 \end{eqnarray*}$ . Freude

26.06.2014, 16:49

riwe

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@HAL 9000: ein recht schönes Danke!

(da ich Prügel gewohnt bin - ich bin ja bestens verheiratet -, hat´s mich auch nicht so arg getroffen Augenzwinkern

ich wünsche den deutschen Brüdern heute Abend viel Glück )

26.06.2014, 23:02

frank09

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Zitat:

Wenn ich mir deine Formel anschaue, kann ich zunächst mal feststellen, dass das hier

Zitat:

Original von frank09
Für a=s werden viele Radikanden negativ.

schon mal völliger Quatsch ist. unglücklich

@riwe
Außer dass ich mindestens einen Zahlendreher ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-2 \end{eqnarray*}$ ) beim Anwenden deiner Formel hatte und ich hoffe, dass du falsche Kritik nicht als Prügel empfindest, ist obigem Zitat nichts hinzuzufügen.

26.06.2014, 23:14

riwe

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@hallo frank09, ich finde nach wie vor deine (sonstigen) Beiträge toll, ok Augenzwinkern

(irren soll ja menschlich sein)

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