charakteristik

17.06.2014, 15:15

donkeyeleven

charakteristik

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper un $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N,\alpha:=(1,.....,1)\in K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_1,....,e_n \end{eqnarray*}$ die standartbasis von $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ .Zeige die Vektoren $\begin{eqnarray*} \alpha-e_1,...,\alpha-e_n \end{eqnarray*}$ sind genau dann linear abhängig,wenn gilt $\begin{eqnarray*} Char(K)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Char(K) \end{eqnarray*}$ ist teiler von n-1

Meine Ideen:

hi smile

straight away,mir ist bewusst was eine Charakterist ist, z.bsp bei $\begin{eqnarray*} Z/2Z \end{eqnarray*}$ ist die $\begin{eqnarray*} Char(Z/2Z)=2 \end{eqnarray*}$ denn den $\begin{eqnarray*} 2*[1]=[1]+[1]=[2]=[0] \end{eqnarray*}$ .

aber wie gehe ich das jetzt hier in der aufgabe an

17.06.2014, 17:50

tmo

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Man kann direkt mit der Definition der linearen Unabhängigkeit arbeiten.

Sei $\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{i} c_i(\alpha-e_i) \end{eqnarray*}$

Zeige zunächst, dass dann alle $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ gleich sein müssen. Daraus folgt dann direkt, dass diese Vektoren nur linear abhängig sein können, falls $\begin{eqnarray*} n-1=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ gilt, weil die Summe der Vektoren gerade $\begin{eqnarray*} (n-1)\alpha \end{eqnarray*}$ ist.

17.06.2014, 18:12

donkyeleven

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hi,

Zitat:

Man kann direkt mit der Definition der linearen Unabhängigkeit arbeiten. Sei $\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{i} c_i(\alpha-e_i) \end{eqnarray*}$

wieso gehst du davon aus das sie linear unabhängig sein müssen ,wenn man doch zeigen muss dass es lin.abh. ist, oder wolltest du einen widerspruch erzwingen?

Zitat:

Zeige zunächst, dass dann alle $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ gleich sein müssen.

$\begin{eqnarray*} c_i =0 \end{eqnarray*}$ weil sonst waere es ja nicht lin.unabh....

Zitat:

$\begin{eqnarray*} n-1=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$

ist das n die charakteristik?

gruß

donky

17.06.2014, 20:48

tmo

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Wenn man prüfen will, wann/ob Vektoren linear abhängig sind, dann setzt man doch per Definition immer mit einer bel. Linearkombination an, die 0 wird.

Und nein, n ist nicht die Charakteristik. Per Aufgabenstellung ist n die Dimension des Raumes, auf dem wir arbeiten.

17.06.2014, 21:28

donkeyeleven

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Sorry war was dusselig ich versteh das char groesser als null sein muss aber dieses n-1 macht mir probleme. Kannst du mir den mathematischen beweis hin schreiben und ich kommentiere das um zu pruefen ob ich es verstanden habe?

18.06.2014, 08:13

tmo

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Zitat:

Original von donkeyeleven
ich versteh das char groesser als null sein muss

Also kannst du schonmal beweisen, dass die Vektoren in Charakteristik 0 linear unabhängig sind? Das wäre schon deutlich mehr als die halbe Miete. Dann zeig mal her.

Zur letzten Frage: Nein.

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