Duales Paar

18.06.2014, 21:58

KathyE

Duales Paar

Meine Frage:
Hallo!
Leider komme ich mit folgender Aufgabe nicht weit(er):

Sei $\begin{eqnarray*} S= \left\{ a_{0}, ..., a_{n} \right\} \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine endl Menge reeller Zahlen. Seien $\begin{eqnarray*} V:= \mathbb R ^S \end{eqnarray*}$ der R-Vektorraum aller Abb. $\begin{eqnarray*} w: S -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P:= \left\{ p\in \mathbb R [x]: 0\leq Gradp \leq n\right\} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} (w,p):= \sum\limits_{i=0}^n w(a_{i})p(a_{i}) \end{eqnarray*}$ .
zeigen Sie: V,P,(.,.) bildet ein duales Paar.

Meine Ideen:
Wir haben duales Paar so kennengelernt, dass die Dimension der beiden Vektorräume und der Rang der Bilinearform gleich sein sollen.

Die Dimension des Vektorraums der Polynome vom Grad kleiner gleich n ist ja n+1. D.h. ich muss doch zeigen, dass auch die Dimension von V und der Rang der Bilinearform gleich n+1 ist?

Ich verstehe nicht, warum der Raum der Abb von S nach R Dimension n+1 besitzen soll. Gibt es nicht unendl viele Abbildungen, die aus einer endl. Menge nach R abbilden können?

Weiterhin weiß ich nicht, wie ich die Darstellungsmatrix der Bilinearform finde, um anschl den Rang zu bestimmen. Ich habe gelesen, dass die Darstellung des Skalarprodukts über die Einheitsmatrix funktioniert, hier werden aber ja noch die $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, ich weiß nicht, wie das in die Darstellung der Matrix einfließen könnte, wo ich die Abbildungen w ja gar nicht kenne...

So, hoffentlich stelle ich mich grad nicht zu blöd an! Ich freue mich über eure Tips und Korrekturen :-)

Liebe Grüße und vielen Dank!

18.06.2014, 23:08

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RE: Duales Paar

Zitat:

Original von KathyE
Ich verstehe nicht, warum der Raum der Abb von S nach R Dimension n+1 besitzen soll. Gibt es nicht unendl viele Abbildungen, die aus einer endl. Menge nach R abbilden können?

Eine Gerade im R^2 hat doch auch unendlich viele Punkte und ist doch nur ein eindimensionaler Unterraum.

Stellt man zu einer Funktion aus V ihre Wertetabelle auf, erhält man im Prinzip einen Vektor mit n+1 Elementen...

19.06.2014, 09:44

KathyE

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RE: Duales Paar
Ja ok. Aber was wäre dann eine Basis zu V? Da V ja der Raum der Abbildungen ist, brauche ich ja eine n+1-dimensionale Basis aus Abbildungen. Und in die setze ihc ja erstmal nicht die Werte aus S ein?

19.06.2014, 09:54

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RE: Duales Paar
Mein Hinweis auf die Wertetabelle sollte dich auf die Idee bringen, S mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$ zu identifizieren. Von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$ kennst du sicher eine Basis und damit auch eine von S

19.06.2014, 13:26

KathyE

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RE: Duales Paar
Tut mir Leid, ich stehe immer noch auf dem Schlauch. Ich möchte ja keine Basis von S, sondern eine der Abb. von S nach R. Ich kann dohc unendlich viele Abb. auf S anwenden, auch wenn S selbst endlich ist. Damit wäre der Vektorraum V den ich hier betrachte ja nicht endlich. Warum spielt der Definitionsbereich der Abbildungen die ich betrachte eine Rolle für die Dimension des Raums, indem die Abbildungen sind? Das verstehe ich nicht..
Mir ist klar, dass ich den Raum irgendwei mit R^n+1 identifizieren können muss, weil ihc weiß dass das am Ende raus kommt. Aber wie genau das aussieht weiß ihc nicht. Warum z.B. sollte die Standardbasis des R^n+1 (falls du die meintest) eine Basis von V sein?

Moment, ich sehe jetzt einen Denkfehler. Es kann ja etliche Funktionen geben, der Begriff der Dimension sagt mir ja nur etwas über den Raum, der aufgespannt wird und nicht über die Anzahl der Elemente, die in diesem Raum liegen. Dieses aufspannen geschieht über n+1 Vektoren, die ja dann über Skalarmultiplikation und Vektoraddition beliebig komibiniert werden können. Trotzdem sehe ich die Basis immer noch nicht...

19.06.2014, 13:30

KathyE

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Oder meintest du mit der Identifikation mit R^n+1 z.B. eine solche Basis (falls n=2):

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} a_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ a_1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a_2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

19.06.2014, 13:33

KathyE

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Wobei ich dann immer noch nicht verstehe, wo ich dann die Abbildungen sehe, die ich ja eigentlich betrachte...

19.06.2014, 15:58

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RE: Duales Paar

Zitat:

Original von KathyE
Moment, ich sehe jetzt einen Denkfehler. Es kann ja etliche Funktionen geben, der Begriff der Dimension sagt mir ja nur etwas über den Raum, der aufgespannt wird und nicht über die Anzahl der Elemente, die in diesem Raum liegen. Dieses aufspannen geschieht über n+1 Vektoren, die ja dann über Skalarmultiplikation und Vektoraddition beliebig komibiniert werden können. Trotzdem sehe ich die Basis immer noch nicht...

Genau darauf wollte ich mit meinem Hinweis auf eine Gerade im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ hinaus. Die Zahl der Elemente spielt hier nicht die Rolle sondern die Dimension, also die Zahl der linear unabhängigen Elemente

Ein Element aus V ist eine Funktion f auf S und als solche durch ihre Wertetabelle eindeutig bestimmt:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{*{4}{c|}}a_0 & a_1 & \ldots & a_n \\\hline f(a_0) & f(a_1) & \ldots & f(a_n) \end{array} \end{eqnarray*}$

In dem Sinn kannst du f einfach mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} (f(a_0),\,f(a_1), \ldots ,\, f(a_n) )\in\mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$ identifizieren. Das geht natürlich für jedes Element aus V.
Wenn du also eine Basis von V suchst, kannst du genauso gut eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$ suchen, musst dann nur die gefundenen Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$ mit den Funktionen aus S identifizieren (identifizieren geht in zwei Richtungen!).
Ein Beispiel: Wenn der Vektor $\begin{eqnarray*} (0,1, \ldots ,\, n) )\in\mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$ zu deiner Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$ gehört, dann gehört die Funktion mit der Wertetabelle
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{*{4}{c|}}a_0 & a_1 & \ldots & a_n \\\hline 0 & 1 & \ldots & n \end{array} \end{eqnarray*}$
zur Basis von V

20.06.2014, 10:09

KathyE

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RE: Duales Paar
Ok, ich glaub jetzt hab ichs kapiert, vielen Dank! smile

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