Signatur einer Matrix berechnen

19.06.2014, 11:39	MatheErsti123	Auf diesen Beitrag antworten »
Signatur einer Matrix berechnen Hallo, ich bin dabei die Signatur der Matrix A zu berechnen und benötige eure Hilfe. $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} \frac{5}{2} & 5 & 1 & 2 \\ 5 & 8 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mein erster Versuch ging über die Eigenwerte. Ich wollte die Eigenwerte berechnen, sodass ich die Signatur quasi als (#positive Eigenwerte, #negative Eigenwerte, #Eigenwerte=0) erhalten würde. Das Problem hierbei war jedoch, dass ich ein char. Polynom erhalten habe, dessen Nullstellen für mich unberechenbar waren. Wolfram Alpha hat für dieses Polynom dann teilweise imaginäre Lösungen geliefert, die kaum auf ein DIN A 4 Blatt passen würden. Meine zweite Idee war nun folgende Überlegung: $\begin{eqnarray} (d_+,d_-,d_0) \end{eqnarray}$ setzt sich zusammen aus: $\begin{eqnarray} d_+=\left\{ b : ( b , b ) > 0\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_-=\left\{ b: (b,b)<0\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_0=\left\{b: (b,b)=0\right\} \end{eqnarray}$ wobei die bs Basisvektoren einer Basis B sind. Das Problem dabei war jedoch, dass in der Aufgabenstellung keine Paarung gegeben ist, und somit nicht unbedingt klar ist, wie das Ergebnis für (b,b) lautet. Meine Frage ist nun: Gibt es noch eine andere Möglichkeit, die Signatur zu bestimmen? Oder habe ich mich bei den Eigenwerten einfach nur verrechnet? Vielen Dank für eure Hilfe !
19.06.2014, 13:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Wolfram berechnet 4 reelle Eigenwerte, wenn ich die Determinante berechne : determinant{{5/2-x,5,1,2},{5,8-x,0,3},{1,0,-x,-1},{2,3,-1,3/2-x}} und dann die Nullstellen : x^4-12x^3-17/4x^2+26x=0 . (Das $\begin{eqnarray} 10^{-5}i \end{eqnarray}$ kann man vernachlässigen)
19.06.2014, 16:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Nullstelle des char. Polynoms solltest du erkennen Als Rest habe ich $\begin{eqnarray} q(x)=x^3-12x^2-\frac{17}{4}x+26 \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du dir nur ein paar Werte von q anschauen und bekommst damit das Vorzeichen der Nullstellen heraus - die genaue Eigenwert ist doch nicht interessant, oder?
19.06.2014, 21:15	MatheErsti123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man ja stimmt... es reicht ja zu wissen, ob die Nullstelle positiv, negativ oder 0 ist. Ich wollte sie unbedingt ganz genau bestimmen, aber das ist hierfür ja überflüssig. Vielen Dank euch beiden!

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