Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen:

Gegeben seien die Zufallsvariablen mit der Dichte: hierbei sie b>0 bekannt und a unbekannt.

a) Zeigen Sie, dass Maximum Likelihood Schätzer für a ist.

Meine Ideen:
Also dass das ein guter Schätzer ist kann man sich ja schon denken, denn wenn in der Indikatorfunktion gelten muss: dann reicht es ja schon, dass ist. Aber das reicht ja wohl nicht um zu zeigen, dass es auch der Maximum Likelihood Schätzer ist.

Also habe ich die Likelihoodfunktion aufgestellt:



dann wende ich den ln an und erhalte:



Wenn ich das jetzt ableite, nach a, dann fällt ja einiges raus und auch meine Indikatorfunktion, ich habe dann nur noch da stehen:



mh jetzt sehe ich ich leider nicht, wo mein Fehler ist, bzw. wo hier das Minimum rauskommen soll?

Danke für die Hilfe
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Hallo Leute, kann sich das hier vielleicht noch einer ansehen? Wäre echt klasse, wenn mir jemand helfen könnte Freude

Danke
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Schon mal was von Randextremum gehört?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Hallo Huggy, ja in Analysis hatten wir das mal..

Die Randextrema kann ich ja nicht durch die Ableitung erhalten, da die Funktion dort ja dann nicht mehr stetig ist oder?

da die zweite Ableitung Null ist, hätte ich mir schon denken können, dass es sich um ein Randextrema handeln muss oder?

Also betrachte ich die Dichtefunktion:



und davon suche ich jetzt wie? das Extrema? Danke für die Tipps Huggy smile

Kann ich das damit begründen, weil dann im Exponent von der e Funktion immer das kleinste nur abgezogen wird, also bei dem ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Die Ableitung zeigt dir, dass L bzw. l eine streng monton fallende Funktion von a ist, jedenfalls solange L nicht 0 wird. Also, je kleiner a, desto größer wird L, solange L nicht 0 wird.

Daraus würde die angebene Lösung folgen, wenn in der Indikatorfunktion statt ein stände. Mit dem >-Zeichen wird aber bei L schon 0. L hat dann gar kein Maximum. Man kann a nur von oben beliebig nahe an heranrücken.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Vielen Dank schon mal für deine Erläuterungen, aber ich kapier es noch nicht so wirklich..

woher sehe ich nun, dass die Funktion L monoton fallend in a ist?

Wegen dem in der ersten Ableitung? Da hängt doch nichts mehr von a ab..
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Zitat:
Original von steviehawk
Wegen dem in der ersten Ableitung? Da hängt doch nichts mehr von a ab..

Die Ableitung muss doch nicht mehr von a abhängen. Es genügt, dass sie negativ ist und das ist sie. Betrachte z. B. die Funktion . Die Ableitung ist -1. Das hängt auch nicht mehr von x ab, ist aber negativ. f(x) ist streng monoton fallend.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
ach klar, und da ich nach a abgeleitet habe weiß ich auch, dass sie monoton fallend in a ist oder? und nicht in x oder?

ich tue mir jetzt dennoch schwer zu sehen, dass ich dann für a einfach das Mininum über den x nehme..

kannst du das nochmal erläutern?

denn wenn ich wähle, dann ist ja die Indikatorfunktion wegen dem immer Null..
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Zitat:
Original von steviehawk
ach klar, und da ich nach a abgeleitet habe weiß ich auch, dass sie monoton fallend in a ist oder? und nicht in x oder?

Ja, natürlich in a.

Zitat:
ich tue mir jetzt dennoch schwer zu sehen, dass ich dann für a einfach das Mininum über den x nehme..

Wenn eine Funktion f(x) in einem Intervall [c, d] streng monoton ist, dann nimmt sie ihr Maximum bzw. Minimum an den Enden des Intervalls an. Das ist aus Diff.-Int I bekannt und anschaulich völlig klar. Dein Intervall für a (mal abgesehen von dem Problem des >-Zeichens) ist das Intervall . Da l(a) monoton fallend ist, wird das Maximum am unteren Ende des Intervalls, also bei angenommen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Super Huggy, denke ich habe das kapiert, ist ja im Grunde auch völlig klar! Mich stört eben das doofe Zeichen, was aber vielleicht auch ein Schreibfehler ist Big Laugh
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum - Likelihood - Schätzer bestimmen
Zitat:
Original von steviehawk
Mich stört eben das doofe Zeichen, was aber vielleicht auch ein Schreibfehler ist Big Laugh

Vermutlich oder ein Versehen bei der Aufgabenstellung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Dichte nur (Lebesgue-)fast sicher eindeutig bestimmt ist, stellt dieses < vs. < in der Dichtedarstellung nicht wirklich ein Problem dar.

Zugegeben, man kann bei dem Gedanken, die Dichte punktuell abändern zu können, gedanklich schon ins schleudern kommen, sofern man nicht auf sicheren maßtheoretischen Fundament steht. Augenzwinkern
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank dafür Hal9000, sowohl inhaltlich als auch rhetorisch liest sich das schön Freude
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