Aufgabe Modulo, Potenzen

20.06.2014, 20:35

ThomasMayer

Aufgabe Modulo, Potenzen

Meine Frage:
Hey Leute, bin gerade an einer Aufgabe am Verzweifeln...

Man soll zeigen, dass für alle n in N (2^((3^n)-1))+1 = 0 mod 3^n gilt.

Meine Ideen:
Hab bisher versucht, die Potenzen als \exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots darzustellen, was mir aber auch nicht weitergebracht hat.

Habt ihr Ideen wie ich da weiterkomme?
Vielen Dank!!

20.06.2014, 20:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Also $\begin{eqnarray*} 2^{3^n-1}+1 \equiv 0\bmod 3^n \end{eqnarray*}$ ?

Das ist falsch, setz z.B. mal $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ein. unglücklich

Vielleicht meinst du ja stattdessen $\begin{eqnarray*} 2^{3^{n-1}}+1 \equiv 0\bmod 3^n \end{eqnarray*}$ , das hättest du aber so klammern müssen:

2^(3^(n-1))+1 = 0 mod 3^n

20.06.2014, 21:35

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Dieselbe Aufgabe (bis auf n->n-1) findet sich im laufenden Bundeswettbewerb 2014 (Runde 2).

20.06.2014, 21:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann wird wohl hier besser geschlossen.

P.S.: Wundert mich, dass eine so vergleichsweise einfache Aufgabe in Runde 2 drankommt. verwirrt

20.06.2014, 22:04

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, eigentlich sollte es beim BWM keine klassische einfache Einstiegsaufgabe geben. Allgemein finde ich Teilbarkeitsaufgaben mit Potenzausdrücken langweilig, wenn sie als einfache Aufgabe gedacht sind, würde mir da mal zur Abwechslung bspw. eine einfache Ungleichung wünschen (weil in der diesjährigen Bundesrunde als Einstiegsaufgabe auch wieder sowas drankam).
[möchte auch betonen, dass ich mit "einfach" immer "vergleichsweise einfach" meine]

27.06.2014, 10:54

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe lautet:
Zeige, dass für alle positiven ganzen Zahlen n die Zahl $\begin{eqnarray*} 2^{(3^n)}+1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 3^{n+1} \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

@HAL
Dies ist nicht so einfach, wie du vielleicht denkst.