Lagebeziehung zweier Geraden nachweisen

20.06.2014, 21:16

Rivago

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Lagebeziehung zweier Geraden nachweisen

Gegeben sind die Punkte A(-2; 2; 2), B(-1; 0,5; -2), C(-7; 4,5; -6), D(2; -2; 0) und der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weisen Sie die Lagebeziehung der Geraden $\begin{eqnarray*} e_{A\overrightarrow{a}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{BC} \end{eqnarray*}$ nach.

$\begin{eqnarray*} e_{A\overrightarrow{a}} : \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{BC} : \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0,5 \\ -2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -6 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmen erstmal die Geradengleichungen?

20.06.2014, 21:24

Incognita

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RE: Lagebeziehung zweier Geraden nachweisen
Die Richtungsvektoren stimmen leider beide nicht.

Zitat:

und der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} = \ldots \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das für die erste Gerade?

Der zweite Richtungsvektor ist zwar prinzipiell richtig gebildet, aber dir ist ein kleiner Fehler unterlaufen.

20.06.2014, 21:31

Rivago

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Hmm ich weiß leider nicht was das für die Geradengleichung bedeutet verwirrt

verwirrt

So vielleicht?

$\begin{eqnarray*} e_{A\overrightarrow{a}} : \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{BC} : \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0,5 \\ -2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.06.2014, 21:35

Incognita

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$\begin{eqnarray*} e_{A\overrightarrow{a}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{BC} \end{eqnarray*}$ stimmen jetzt beide. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ ist bereits Richtungsvektor und muss daher nicht als Verbindungsvektor berechnet werden.

20.06.2014, 22:24

Rivago

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Hmm.. laut Lösung sollen die sich schneiden, aber ist bei mir nicht der Fall.

Ist einfach nicht mein Tag heute unglücklich

unglücklich

20.06.2014, 22:30

Incognita

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Ich habe ebenfalls herausbekommen, dass die Geraden windschief sind.

Irgendwelche Übertragungsfehler? Vorzeichen?

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20.06.2014, 22:34

Rivago

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Nee das sollte alles stimmen.

Bekommst du für r = -11/6 und für s = -13/24 raus?

20.06.2014, 22:39

Incognita

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11/2 = ?

unglücklich

Welche Werte man für r und s bekommt, hängt davon ab, welche Gleichungen man verwendet, jedenfalls wenn die Geraden windschief sind. Es gibt ja einen Widerspruch. Vergleichen ist daher schwer möglich.

Ich rechne gleich noch mal.

20.06.2014, 22:39

Rivago

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Ach man, so ein dummer Fehler..

Ich rechne dann jetzt auch nochmal nach.

20.06.2014, 22:46

Rivago

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Ok, also bei mir schneiden sie sich jetzt auch.

Hab hier noch eine Aufgabe, die zu dieser Aufgabe dazu gehört. Magst du mir noch helfen?

Die Gerade g verläuft durch A senktrecht zur Geraden e und schneidet die Gerade f im Punkt E.

Wie geht man denn sowas an? Hab leider keine Ahnung. unglücklich

unglücklich

20.06.2014, 22:57

Incognita

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"Senkrecht" deutet auf ein Lotfußpunktverfahren (Hilfsebene oder laufender Punkt) hin.

Was kommt dir bekannt vor?

20.06.2014, 23:02

Rivago

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Ja, bin da eben auch drauf gekommen, aber bin mir noch nicht sicher ob meine Überlegung jetzt richtig ist.

Es müsste doch sein:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{a} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber das bringt mir irgendwie auch noch nichts unglücklich

unglücklich

20.06.2014, 23:08

Incognita

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RE: Lagebeziehung zweier Geraden nachweisen
Doch, das nützt durchaus etwas. Der Punkt E liegt auf der Geraden f, lässt sich also darstellen als
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{x_E} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0,5 \\ -2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -6 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den Parameter s kannst du mithilfe deiner eben aufgestellten Bedingung ermitteln.

20.06.2014, 23:14

Rivago

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Dann hab ich jetzt die Lösung, danke smile

smile

Wink

20.06.2014, 23:16

Incognita

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Gern geschehen. smile

smile

Wink

20.06.2014, 23:28

Rivago

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Brauch jetzt aber doch nochmal deine Hilfe. Dacht ich krieg es allein hin, hab aber keine Ideen.

Geht das irgendwie über den Betrag?

Edit: Es geht um die letzte Aufgabe.

20.06.2014, 23:55

Rivago

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Glaub hat sich erledigt. Könntest du bitte mal meine Punkte überprüfen?

A' (4,5 | 9| 1)
E' (2,5 | 10| -5)
D' (8,5 | 5| -1)

21.06.2014, 08:15

Incognita

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Stimmt alles. Freude

Freude

21.06.2014, 09:35

Rivago

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smile

Freude

21.06.2014, 13:24

Incognita

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Nur noch zur Ergänzung: Es gibt zwei mögliche Prismen mit der geforderten Eigenschaft (über beiden "Seiten" der Grundfläche), aber das hier bestimmte scheint wohl das gesuchte Prisma gewesen zu sein.

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