Restklassenkörper über lokalem Ring flach?

21.06.2014, 13:13

Tornupto

Restklassenkörper über lokalem Ring flach?

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Sei A ein lokaler Ring mit Maximalideal m und k=A/m der Restklassenkörper. Ist dann k ein flacher A-Modul?

Meine Ideen:
Meine Überlegungen bisher sind:
Für ein Ideal a von A gilt:
Falls a in m enthalten ist, gilt $\begin{eqnarray*} a\otimes_A k =0 \end{eqnarray*}$ . Falls $\begin{eqnarray*} a\not\subseteq m \end{eqnarray*}$ folgt bereits $\begin{eqnarray*} a\otimes_A k =k \end{eqnarray*}$ .
Daher ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} a\otimes k\rightarrow k \end{eqnarray*}$ für alle Ideale a von A injektiv, was ja äquivalent zur Flachheit wäre.

Andererseits haben wir aber in der Vorlesung gezeigt, dass jeder flache Modul torsionsfrei ist.

Ich hoffe, dass mir jemand erklären kann, wo mein Denkfehler liegt.
Viele Grüße

21.06.2014, 18:27

Louis1991

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RE: Restklassenkörper über lokalem Ring flach?
Sei $\begin{eqnarray*} A = \mathbb{Z}_{\mathfrak{p}} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} k = \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{\mathfrak{p}} \rightarrow \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ injektiv, aber

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{\mathfrak{p}} \otimes_{\mathbb{Z}_{\mathfrak{p}}} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ nicht. Oder?

Woher kommt die Frage?

Edit:

Zitat:

Original von Tornupto
Falls a in m enthalten ist, gilt $\begin{eqnarray*} a\otimes_A k =0 \end{eqnarray*}$ .

Das gilt, glaube ich, nicht.

22.06.2014, 10:44

Tornupto

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RE: Restklassenkörper über lokalem Ring flach?
Vielen Dank für deine Antwort. Ich muss für ein Seminar einen Beweis ausführen, in dem ich auf diese Frage gestoßen bin. Da aber dein Gegenbeispiel eindeutig die Aussage widerlegt, muss ich wohl einen anderen Weg finden.

Die Aussage "Falls a in m enthalten ist, gilt $\begin{eqnarray*} a\otimes_A k =0 \end{eqnarray*}$ " hätte ich mir folgendermaßen überlegt:

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i\otimes x_i \in a\otimes_A k \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} a_i\otimes x_i= 1\otimes (a_i x_i)=1\otimes 0=0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a_i \in m \end{eqnarray*}$ und somit folgt, dass die ganze Summe gleich 0 ist.

22.06.2014, 11:48

Louis1991

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RE: Restklassenkörper über lokalem Ring flach?
Das was du da machst, ist glaube ich falsch. Das Tensorprodukt ist additiv und skalarmultiplikativ bilinear. In dem Schritt, wo du das $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ nach rechts rüberziehst, wird es von dir als Element in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und nicht in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aufgefasst.

Hier noch ein einfaches Gegenbeispiel:

in meinem Beispiel oben gilt $\begin{eqnarray*} \mathfrak{p} \cong \mathbb{Z}_{\mathfrak{p}} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{\mathfrak{p}} \end{eqnarray*}$ -Moduln (da beide zyklisch). Tesorprodukt $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ hängt aber nur von der Modulstruktur ab.

Wie sieht der Beweis aus, den du machen musst?

22.06.2014, 12:43

tmo

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RE: Restklassenkörper über lokalem Ring flach?

Zitat:

Original von Tornupto
Die Aussage "Falls a in m enthalten ist, gilt $\begin{eqnarray*} a\otimes_A k =0 \end{eqnarray*}$ " hätte ich mir folgendermaßen überlegt:

Die Überlegung ist nicht nur falsch, es gilt ja sogar:
Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zusätzlich noethersch (also das Ideal insbesondere endlich erzeugt), dann gilt doch nach dem Lemma von Nakayama: $\begin{eqnarray*} a\otimes_A k =0 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ .

PS: Der Fehler ist natürlich tatsächlich dort, wo Louis ihn vermutet. Das Problem ist, dass du nach der Umformung auf der linken Seite eine 1 stehen hast. Aber $\begin{eqnarray*} 1 \notin a \end{eqnarray*}$ .

22.06.2014, 15:19

Tornupto

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Vielen Dank euch beiden. Jetzt hab ich verstanden, warum meine Argumentation falsch war.

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