Skalarprodukt von Polynomen

21.06.2014, 14:34

chalente

Skalarprodukt von Polynomen

Hallo Community,

wir sollen für eine Basis des des $\begin{eqnarray*} R_{\leq 2}\left(x\right) \end{eqnarray*}$ zeigen, dass die Elemente $\begin{eqnarray*} \left\{b_1,b_2,b_3\right\} \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis bilden. Ich denke man zeigt dies, indem man Orthogonalität und Normierung bezgl 1 zeigt. Die Normierung zu zeigen, war kein Problem, bei der Orthogonalität bin ich nicht ganz sicher. Es müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} <b_1,b_2,b_3>=0 \end{eqnarray*}$

Nun haben wir aber drei Polynome und ich kenne keine Vorschrift, wie man deren Skalarprodukt berechnet. Sollte man einfach koeffizientenweise multiplizieren, oder wie geht das?

die Ausdrücke sind: $\begin{eqnarray*} b_1=\frac{x^2}{\sqrt{2}},b_2=x-1,b_3=x \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

22.06.2014, 02:00

Helferlein

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Das Skalarprodukt ist eine Abbildung von VxV nach IR. Du kannst also immer nur paarweise das Skalarproduktbilden, was aber auch der Definition einer Orthogonalbasis entspricht.

04.07.2014, 23:11

chalente

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sorry, ich muss leider sagen, deine Antwort bringt mich kein Stück weiter.
Wären die Elemente Vektoren, dann hätte ich kein Problem das Skalarprodukt zu berechnen, weil eine Vorschrift existiert: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix} = a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 \end{eqnarray*}$

Aber eben soetwas kann ich für Polynome nirgends finden verwirrt

04.07.2014, 23:34

Leopold

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Zitat:

Original von chalente
sorry, ich muss leider sagen, deine Antwort bringt mich kein Stück weiter.

... und das nach beinahe zwei Wochen elendiglichen Grübelns und Gehirnzermarterns. Da muß Helferleins Antwort wahrlich grottenschlecht gewesen sein.
Das läßt mich fassungslos zurück.

05.07.2014, 12:13

Elvis

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Eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\le 2}(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber $\begin{eqnarray*} b_2=x-1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} b_2\cdot b_2=2 \end{eqnarray*}$ nicht normiert und $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ sind nicht orthogonal wegen $\begin{eqnarray*} b_2 \cdot b_3=1 \end{eqnarray*}$ .
Mir scheint, die Aufgabe ist schlecht gestellt, da nicht gesagt wird, wie das Skalarprodukt definiert ist. Wie man dann kein Problem haben kann, die Normiertheit zu zeigen, ist für mich ein Wunder.

05.07.2014, 13:47

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Elvis

Mir scheint, die Aufgabe ist schlecht gestellt, da nicht gesagt wird, wie das Skalarprodukt definiert ist. Wie man dann kein Problem haben kann, die Normiertheit zu zeigen, ist für mich ein Wunder.

Vielleicht hat aber auch der Threadersteller einen wesentlichen Teil der notwendigen Infos nicht geliefert, wie z.B. die Definition des Skalarprodukts in dem Fall.

05.07.2014, 14:01

chalente

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Die Normierung zu zeigen war kein Problem, da Skalarprodukt und eine Vorschrift für die Norm von Polynomen gegeben waren. Tut mir Leid, dass ich die sie vorenthalten habe, ich dachte sie wäre für's zeigen der Orthogonalität irrelevant.

Norm eines Polynoms: $\begin{eqnarray*} ||b_x||=\sqrt{<b_x,b_x>} \end{eqnarray*}$
Skalarprodukt: $\begin{eqnarray*} <p,q>=2p_2q_2+p_1q_1+p_1q_0+p_0q_1+2p_0q_0 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} p(x)=p_2x^2+p_1x+p_0 \end{eqnarray*}$ (selbiges für die Koeffizienten von q(x).

Mir geht es hier nur um die Orthogonalität. Dafür existiert keine Definition im Skript, jedenfalls nicht für Polynome. Ich weiß, dass Vektoren orthogonal sind, wenn deren Skalarprodukt verschwindet. Da wir in der linearen Algebra ja eh alles als Vektoren bezeichnen, dachte ich, man könne die Polynome jetz ebenfalls als welche betrachten:
Folglich habe ich die Bedingung $\begin{eqnarray*} <b_1,b_2,b_3>=0 \end{eqnarray*}$ aufgestellt. Gut, wenn ich Helferleins Antwort überdenke, gibt es kein Skalarprodukt für drei Elemente.
Dann weiß ich jetz aber auch nicht weiter...Wie soll ich denn die Orthogonalität von eindimensionalen Vektoren, bzw. Polynomen zeigen?

05.07.2014, 15:42

RavenOnJ

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Orthogonal bedeutet Skalarprodukt ist 0. Also $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ orthogonal zu $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ führt zu
$\begin{eqnarray*} 0=\langle p,q\rangle =2p_2q_2+p_1q_1+p_1q_0+p_0q_1+2p_0q_0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von chalente
Da wir in der linearen Algebra ja eh alles als Vektoren bezeichnen, dachte ich, man könne die Polynome jetz ebenfalls als welche betrachten

Aha, du dachtest dir das. Das ist lustig. Vielleicht solltest du mal zeigen, dass der Raum dieser Polynome in der Tat ein Vektorraum ist. Im Übrigen ist der (Vektor-)Raum dieser Polynome nicht 1-dimensional, sondern 3-dimensional.

05.07.2014, 15:47

Helferlein

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OK, wenn es wirklich so schwer ist, dann noch mal etwas deutlicher:

Zitat:

Original von Helferlein
Das Skalarprodukt ist eine Abbildung von VxV nach IR. Du kannst also immer nur paarweise das Skalarproduktbilden

Bedeutet: Du kannst das Skalarprodukt immer nur von genau zwei Vektoren (hier also Polynomen) berechnen. Drei oder mehr geht nicht.

Zitat:

Original von Helferlein
... was aber auch der Definition einer Orthogonalbasis entspricht.

Bedeutet: Eine Basis heisst orthogonal, wenn ihre Elemente paarweise orthogonal zueinander sind. Falls Dir der Begriff "paarweise" nichts sagt: Jeweils ein Paar, also zwei beliebige Vektoren, müssen orthogonal zueinander sein.

06.07.2014, 10:51

Elvis

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Zitat:

Original von chalente
Die Normierung zu zeigen war kein Problem, da Skalarprodukt und eine Vorschrift für die Norm von Polynomen gegeben waren. Tut mir Leid, dass ich die sie vorenthalten habe, ich dachte sie wäre für's zeigen der Orthogonalität irrelevant.

Norm eines Polynoms: $\begin{eqnarray*} ||b_x||=\sqrt{(b_x,b_x)} \end{eqnarray*}$
Skalarprodukt: $\begin{eqnarray*} (p,q)=2p_2q_2+p_1q_1+p_1q_0+p_0q_1+2p_0q_0 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} p(x)=p_2x^2+p_1x+p_0 \end{eqnarray*}$ (selbiges für die Koeffizienten von q(x).

Mir geht es hier nur um die Orthogonalität. Dafür existiert keine Definition im Skript, jedenfalls nicht für Polynome. Ich weiß, dass Vektoren orthogonal sind, wenn deren Skalarprodukt verschwindet. Da wir in der linearen Algebra ja eh alles als Vektoren bezeichnen, dachte ich, man könne die Polynome jetz ebenfalls als welche betrachten:
Folglich habe ich die Bedingung $\begin{eqnarray*} (b_1,b_2,b_3)=0 \end{eqnarray*}$ aufgestellt. Gut, wenn ich Helferleins Antwort überdenke, gibt es kein Skalarprodukt für drei Elemente.
Dann weiß ich jetz aber auch nicht weiter...Wie soll ich denn die Orthogonalität von eindimensionalen Vektoren, bzw. Polynomen zeigen?

Hallo, chalente.
Danke für die Definition des Skalarprodukts - ich habe sie erst einmal lesbar gemacht - die Definition ist unverzichtbar, weil es auf einem Vektorraum viele verschiedene Skalarprodukte gibt, und weil die Begriffe normiert und orthogonal nur in bezug auf das jeweilige Skalarprodukt Sinn machen.

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