Index von Untergruppen

22.06.2014, 17:41	Matherechner21	Auf diesen Beitrag antworten »
Index von Untergruppen Ich soll folgendes zeigen: Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann gilt: Aus $\begin{eqnarray} \left[G:U\right] < \infty \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \left[G:M\right] < \infty \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} M:=\cap _{g\in G} (gUg^{-1}) \end{eqnarray}$ Habe allerdings keine Idee... Das einzige, was mir aufgefallen ist, ist, dass M eine Untergruppe von U ist. Kann mir jemand weiterhelfen?
22.06.2014, 19:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Entscheidend ist, dass der Schnitt endlich ist. Das sieht man daran, dass die Anzahl der zu U konjugierten Untergruppen dem Index des Normalisators von U entspricht (Bahnformel), welcher wiederum durch den Index von U nach oben beschränkt ist.
22.06.2014, 23:27	Matherechner21	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist denn entscheidend, dass M endlich ist? Es gilt ja: $\begin{eqnarray} [G:M]=[G:U]\times [U:M]=[G:U]\times \frac{\|U\|}{\|M\|} \end{eqnarray}$ Das erste Faktor ist endlich, beim zweiten, weiß ichs noch nicht, allerdings reicht die Endlichkeit von M nicht aus, oder doch...?
23.06.2014, 08:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht M ist endlich (das würde ja Null Sinn machen), sondern es wird der Schnitt nur über endlich viele Untergruppen gebildet (was a priori nicht klar ist).

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