positive Definitheit

22.06.2014, 19:30	Kritzel233	Auf diesen Beitrag antworten »
positive Definitheit Hallo an alle, habe folgende Aufgabe: Wissen, dass quadratische Matrix A symmetr., pos. def. Wollen zeigen: Dann ist auch M=Q'AQ pos. def., wobei Q orthog. und M ebenfalls symmetr. Was ich zeigen muss, ist x'Mx=x'(Q'AQ)x>0 für alle x ungleich 0, aber warum gilt das? Vielen Dank im Voraus, Grüße
22.06.2014, 19:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: positive Definitheit Das follgt aus <x'(Q'AQ)x>=<(Qx)'A(Qx)>
22.06.2014, 19:53	Kritzel233	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Klammern machen da aber keinen Sinn, oder? Also ist denn x'Mx = x'(Q'AQ)x = x'Q'AQx = x'Ax>0 für alle x?
22.06.2014, 20:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ähnlich geht das. Du weißt: $\begin{eqnarray} y^{\top} A y > 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y \neq 0 \end{eqnarray}$ . Das ist gerade die positive Definitheit von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Jetzt rechne: $\begin{eqnarray} x^{\top} M x = x^{\top} Q^{\top} A Q x = (Qx)^{\top} A (Qx) \end{eqnarray}$ Und sieh das $\begin{eqnarray} Qx \end{eqnarray}$ als ein $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ an. Was ist, wenn $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ ist?
22.06.2014, 20:13	Kritzel233	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann hab ich da y'Ay>0 stehen und y kann beliebig sein, also ist M auch pos. def?
22.06.2014, 20:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und warum kann $\begin{eqnarray} x^{\top} M x \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ werden für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ ?
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22.06.2014, 20:32	Kritzel233	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil M ungleich 0 vorausgesetzt? Sag Du's mir.
22.06.2014, 20:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es hängt mit $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ zusammen! $\begin{eqnarray} y = Qx \end{eqnarray}$ . Was ist, wenn $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ ist, mit $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ? Und warum ist das so?
22.06.2014, 20:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat, die spitzen Klammern gehörten da überhaupt nicht hin. Ansonsten hat Leopold alles im Griff. Bin also weg
22.06.2014, 20:52	Kritzel233	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist dann natürl. auch ungleich 0. Über Q weiß ich nur, dass es orthog., ungl. 0 und längentreu abbildet, Skalarprod. erhält. Kannst Du mir verraten, was Du meinst?
22.06.2014, 20:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, orthogonale Matrizen sind insbesondere invertierbar. Wenn also $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ ist, so ist auch $\begin{eqnarray} y = Qx \neq 0 \end{eqnarray}$ . Und deswegen gilt: $\begin{eqnarray} x^{\top} Q^{\top} A Q x = y^{\top} A y > 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \neq 0 \end{eqnarray}$
22.06.2014, 21:14	Kritzel233	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, und das gilt für alle y, weil Voraussetzung für alle x gilt und man immer x findet, so dass y=Qx?

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