Schreibweise und Berechnung von Ringen

27.06.2014, 13:07

MarioK

Schreibweise und Berechnung von Ringen

Hallo Leute,
ich habe die letzte Vorlesung in Algebra nicht besuchen können und bin jetzt überfordert, wie ich die Beispiele lösen soll. Es müsste sich dabei um Ringe handeln, nur hab ich keinen Plan, was die Schreibweise meint, zB: $\begin{eqnarray*} \left[20\right]_{3}^{-1} \end{eqnarray*}$ das -1 oben wird heißen, dass man das Inverse berechnen muss.. denke ich mal^^
aber was heißt das 20 mit der 3 unten... heißt das 20 mod 3 und davon dann das Inverse?

Ich schreib hier einfach mal die Beispiele her, die zu lösen sind:

a) Ich finde das Produktsymbol im Formeleditor nicht, also mach ichs so: Produkt( $\begin{eqnarray*} [i]_{100} \end{eqnarray*}$ ) mit i = 1 bis 99

Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste das eigentlich 0 sein, weil spätestens bei 10 etwas rauskommt, was mod 100 gleich 0 ist und danach alles mal 0 multipliziert wird und somit 0 bleibt.

b) $\begin{eqnarray*} \left[20\right]_{3}^{-1} \end{eqnarray*}$ wie oben bereits beschrieben, wäre das wohl das Inverse. Leider weiß ich nicht, wie ich auf das Inverse komme...

c) ist dann ähnlich wie b und müsste ich dann alleine schaffen.

d) $\begin{eqnarray*} [3]_{7} / [5]_{7} \end{eqnarray*}$ verwirrt mich auch wieder^^

e) $\begin{eqnarray*} \left[24\right]_{7}^{-3} \end{eqnarray*}$ verstehe ich auch nicht, wie ich das machen soll

f) $\begin{eqnarray*} \left[17\right]_{11}^{3} / \left[-3\right]_{11}^{2} \end{eqnarray*}$ könnte ich dann wahrscheinlich, wenn ich die vorherigen Beispiele verstanden habe.

Sorry, dass ich da gerade nicht viel Vorwissen mitbringe. Es würde auch schon helfen, wenn ihr mir bestätigen könntet, dass das hier zumindest Ringe sind und eventuell einen Link posten könntet, der vielleicht die Sache etwas erklärt. =)

mfg
MarioK

28.06.2014, 13:06

Elvis

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Wahrscheinlich meint $\begin{eqnarray*} [a]_m \end{eqnarray*}$ die Restklasse von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/m \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Genau dann, wenn m eine Primzahl ist, hat jede von [0] verschiedene Restklasse genau eine inverse Restklasse.
Dann wäre zum Beispiel $\begin{eqnarray*} [20]_3^{-1}=[2]_3^{-1}=[2]_3 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} 20\equiv 2 mod 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\times 2 =4\equiv1 mod 3 \end{eqnarray*}$ .

30.06.2014, 11:38

MarioK

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Okay, da ich nun die Bestätigung habe, dass das Restklassenringe sind, habe ich nachrecherchiert und habe jetzt alle Ergebnisse, außer das von a)

b) ist dann 1

c) ist dann 248 ( $\begin{eqnarray*} \left[24\right]_{541}^{-1} \end{eqnarray*}$ )

d) ist 2

e) ist 4

f) ist 2

Müsste eigentlich soweit alles stimmen, nur eben das Beispiel a weiß ich nicht. Wäre nett, wenn mir da noch jemand helfen könnte^^
Danke dir Elvis für deine Hilfe =)

30.06.2014, 11:52

Captain Kirk

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Nach meiner Rechnung ist nur die c) richtig.

30.06.2014, 12:04

Leopold

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Wenn man nur addiert, subtrahiert und multipliziert, ist es egal, ob man gleich im Restklassenring rechnet oder erst in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und dann zu den Restklassen übergeht.

Du kannst also das Produkt in a) zuerst in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ berechnen, was $\begin{eqnarray*} 99! \end{eqnarray*}$ ergibt, und vom Ergebnis die Restklasse modulo $\begin{eqnarray*} 100 \end{eqnarray*}$ bilden. Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} 100 = 2^2 \cdot 5^2 \end{eqnarray*}$ . Und andererseits kommt man im Produkt $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2 \cdots 98 \cdot 99 \end{eqnarray*}$ an so vielen Primfaktoren $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ vorbei ...

Deine Ergebnisse in b) bis f) kann ich nicht nachvollziehen.

Zum Beispiel e):

$\begin{eqnarray*} {[24]_7}^{-3} = \left( {[3]_7}^{-1} \right)^3 = {[5]_7}^3 = {[5]_7}^2 \cdot [5]_7 = [4]_7 \cdot [5]_7 = [6]_7 \end{eqnarray*}$

30.06.2014, 12:25

MarioK

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Ja, bei den Ergebnissen habe ich ein wenig gecshlampt... habs nur auf einem Zettel gerechnet und dann irgendwie die Ergebnisse und/oder Zwischenergebnisse vertauscht. Habs nun nocheinmal schön gerechnet und habe nun die Ergebnisse:

b) 2

c) 248

d) 2

e) 6

f) 2

Das sollte nun alles stimmen, falls nicht, werde ich bei den falschen Ergebnissen meinen Rechenweg posten. a) werde ich jetzt mit der Erklärung noch versuchen. Danke euch =)

edit: Was bringt mir jetzt bei a, dass ich weiß, dass ich an vielen Primfaktoren vorbeikomme? Das verstehe ich nicht so ganz...

Und da die Ergebnisse von d) und f) gleich sind, wie vorher schon gepostet, aber laut euch falsch, hier mal mein Rechenweg von d:

d) $\begin{eqnarray*} [3]_{7} / [5]_{7} \equiv [10]_{7} / [5]_{7} \equiv [2]_{7} \end{eqnarray*}$
bzw. ist $\begin{eqnarray*} [3]_{7} / [5]_{7} \equiv [3]_{7} * \left[5\right]_{7}^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[5\right]_{7}^{-1} \equiv [3]_{7} \end{eqnarray*}$ ... 3*3 = 9 und 9 entspricht 2.

01.07.2014, 11:24

Leopold

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Zitat:

Original von MarioK
Ja, bei den Ergebnissen habe ich ein wenig gecshlampt...

Selbstironie oder Self-fulfilling prophecy? Augenzwinkern

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