Trapezinhalt maximieren

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Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »
Trapezinhalt maximieren
Guten Tag

Ich stecke mitten in einer Maximierungsaufgabe fest... Ich habs noch nie 100% verstanden und hoffe, dass ihr mir helfen könnt (in 1 Monat Prüfungen...)

Gegeben ist der Mittelpunkt M(r/0) eines im ersten Quadranten liegenden Halbkreises mit Radius r. P(p/Yp) mit r<p<2r auf der Peripherie dieses Halbkreises. Durch P gehen Parallelen zu den Koordinatenachsen. Eine schneidet x-Achse in A, die andere die Kreisperipherie in B.

Koordinate P so berechnen, dass der Inhalt im Trapez MAPB maximal wird.

Skizze hab ich gemacht (bzw. liegt bei). Und in der ersten Teilaufgabe ist noch der Radius = 15 gegeben (falls ich den hier auch gleich brauchen darf, und es ihn überhaupt braucht)


Erster Schritt: Das zu maximierende Flächenstück aufschreiben.

A = m*h = (a+c)/2*h


Zweiter Schritt: Umformen, bis nur noch eine Variable vorhanden.
--> Hier hab ich meine grosse Mühe bei jeder dieser Aufgaben -.-

Was muss nun in meinem Kopf vorgehen, damit ich das zu Stande bringe? Hab 2 gelöste Aufgaben vor mir und kanns nicht anwenden :-(

Was sehe ich?
-Punkt B und P haben den gleichen y-Wert. P und A haben den gleichen x-Wert. Radius von M zu P und M zu B gegeben.
- Abhängigkeit von B zu P mit h
- MA + BP = m

Ist glaube ich viel vorhanden, aber ich komm hier nicht weiter....



Anschl. über Ableitung und Nullsetzen x-Werte errechnen. (dieser Part sollte dann wieder alleine gehen)
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ich mal ein Bild vor Augen habe:

[attach]34716[/attach]

(Das sollte ich wohl nächstes Mal größer machen unglücklich ; hab's noch nicht so raus.)

Zitat:
(1) Punkt B und P haben den gleichen y-Wert. P und A haben den gleichen x-Wert. Radius von M zu P und M zu B gegeben.
(2) Abhängigkeit von B zu P mit h
(3) MA + BP = m


Kleine Änderung an (3) Augenzwinkern .
Zu (1): Was bedeutet das für das Dreieck PBM und somit für die Strecke PB?

Zum Zusammenhang mit der Höhe h: benutzt ihr die Kreisgleichung oder den Satz des Pythagoras?
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

(3) = (MA+BP)/2 = m

Strecke PB im Dreieck PBA:
x-Werte von P und B jeweils gleiche Distanz (z) vom x-Wert von M aus. --> x Wert von M hier Mx genannt. --> x-Wert Punkt B (Mx-z) = x-Wert Punkt P (Mx+z) --> Strecke PB = (Mx-z)+(Mx+z)

hoffe das ist so verständlich...

Zur Höhe h: Haben beides gehabt, bin in der Kreisgleichung jedoch alles andere als Sattelfest... empfehle demnach die Kreisgleichung so haben wir das dann auch gleich wieder n bisschen repetiert :-)

edit: Zudem ist die Sache noch Gleichschenklig... bringt mich jedoch auch noch nicht weiter, da ich den Ablauf noch nicht verstehe... :-(
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

(3) stimmt jetzt.

Verständlich ist dein Gedankengang schon, aber du vermischst Strecken und Koordinaten, was dazu führt, dass du addierst, wo du subtrahieren müsstest.

Vorgegeben sind an Koordinaten M(r|0) und P(p|y_p), und ich halte es für sinnvoll, bei r und p zu bleiben. Wenn du magst, kannst du r=15 einsetzen, aber du kannst auch mit allgemeinem r weiterrechnen.

Die Gleichschenkligkeit liefert dir die Streckengleichheit, die du mit Mx-z bzw. Mx+z ausgedrückt hast.
Drücke lieber die Strecke MA mit r und p aus.
Wie lang ist dann BP?


Kreisgleichung: wir brauchen einen verschobenen Kreis und können uns auf den oberen Halbkreis beschränken.
Kannst du die Gleichung aufschreiben?
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

Habs grad gesehen, dass das nicht aufgehen konnte...

Nun habe ich die Strecke MA = r + (p-r)
Aus der Gleichschenkligkeit folgt nun, dass die Strecke BP = 2*[r+(p-r)] sein muss oder?

Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r:


Bin ich zu früh mit folgender Überlegung?

Formel für A haben wir ja schon (a+c)/2 * h



ach und h ist ja y_p?
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Kreisgleichung stimmt, h = y_p ebenfalls. Freude

p ist die Strecke OA mit O(0|0). Wie groß ist also MA?
BP = 2*MA stimmt dann wieder, aber mit anderem MA.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischendurch: eine rein geometrische Lösung

N sei der Mittelpunkt der Strecke BP. Dann sind MAP, PNM und BNM kongruente rechtwinklige Dreiecke, deren Vereinigung gerade das Trapez ergibt. Die Trapezfläche wird daher maximal, wenn das Dreieck MAP maximalen Flächeninhalt besitzt. Die Hypotenuse von MAP ist der Kreisradius, in der Länge also unveränderlich. Von allen rechtwinkligen Dreiecken mit gleicher Hypotenuse besitzt aber das symmetrische, also das gleichschenklig-rechtwinklige, maximalen Flächeninhalt (man zeichne den Thaleskreis der Hypotenuse und betrachte die Hypotenusenhöhe).
Der Trapezinhalt wird daher maximal, wenn der Kreisradius Wurzel-2-mal so groß wie die Strecke MA ist.
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

@ Incognita

Hmm dann ist MA = p-r
BP somit = 2(p-r)

was muss ich nun mit der Kreisgleichung und der Flächenformel anfangen?



Kreisgleichung




@ Leopold
Danke für diese Erklärung :-) MA wäre dann also ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und da die Länge besitzt, heißt das , also .

Somit weißt du schon einmal, was die Rechnung beim analytischen Verfahren ergeben muß.

Die Kreisgleichung stimmt. Da auf dem Kreis liegt, gilt sie insbesondere für die Koordinaten von , also



Diese Gleichung kannst du nach auflösen und das in



einsetzen. Die Rechnung wird etwas angenehmer, wenn du zuvor quadrierst. Denn so enthält die Funktionsgleichung keine Wurzel mehr. Und ob man nun oder maximiert, spielt keine Rolle, da das Quadrieren positiver Zahlen streng monoton ist.
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Hmpf, Katze ein bisschen früh aus dem Sack gelassen. Dennoch danke Augenzwinkern .

@Gurletzky:

(Sehe gerade in der Vorschau, dass Leopold geantwortet hat - er hat vermutlich nicht mitbekommen, dass ich mich gerade eingeloggt habe. Ich hätte übrigens fast das gleiche beschrieben.)
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nun nach y_p^2 aufgelöst und so eingesetzt (da ich A quadriert habe, wie empfohlen), anschliessend etwas miteinander verrechnet und ausgeklammert...



stimmt das?
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

An den rot markierten Stellen habe ich andere Kooeffizienten:



Den Faktor p würde ich im Hinblick auf das Ableiten nicht ausklammern, war aber prinzipiell richtig.

Die Funktion sollte man umbenennen in A^2 oder einen anderen Namen, da es ja nicht mehr die ursprüngliche Funktion ist.
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

habe folgendes





gibt dann

komme mit mehrmals drüber schauen immer auf das :-/
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt richtig. Freude

(Ich hatte die fehlerhaften Stellen aus deiner Antwort markiert, aber nicht das richtige Ergebnis hingeschrieben - war eventuell missverständlich.)
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann :-) auf geht's! (hab zuerst gelesen, dass der Exponent falsch ist... hehe. egal!)



habs anschliessend = 0 gesetzt und jetzt häng ich da fest :-(



da geht doch jetzt weder binomisch noch sonst was... unglücklich
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Bleiben wir mal bei

Richtig, binomisch oder mit pq-Formel geht da nichts. Welche Technik ist daher gefragt?
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich hab keinen plan... :-/

- Gleichungssystem hilft meistens (aber welche 2. Gleichung?)
- Logarithmen sind wohl nicht gefragt
- ausklammern möglich, je nach höhe gibt's aber nen Bruch in der Klammer
- Wurzeln ziehen wohl eher kontraproduktiv

mehr kommt mir da nicht in den Sinn unglücklich
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Ganzrationale Gleichung, bei der Ausklammern, pq-Formel und Substitution nicht hilft?

P...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemeiner Hinweis.
Es ist nicht vorteilhaft auszumultiplizieren. Aus



erhält man mit der Produkt- und Kettenregel:



Und durch die Produktdarstellung von wird die Nullstellensuche viel einfacher.
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

Polynomdivision?

Da fehlt mir aber doch das Stück ... = ? hab ja gleich 0
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Das funktioniert natürlich nur, wenn man die Ketten- und Produktregel kennt und ein sehr guter Schüler ist, der solche Vorteile sieht. Das kann man im Allgemeinen aber nicht voraussetzen.


@Gurletzky:
Ja, Polynomdivision. Dafür müssen wir eine Lösung raten, was hier nicht ganz so schlimm ist, wie man denken könnte.
Wenn wir die Nullstellen der ersten Ableitung suchen, bestimmen wir ja nicht nur Maxima, sondern eventuell auch Minima. Und für welchen Wert von p (wo liegt der Punkt P) wird der Flächeninhalt des Trapezes minimal, also Null? Was muss also eine Lösung der Gleichung sein?

Deine Frage verstehe ich nicht ganz. Meinst du, dass dir der Teiler fehlt?
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Punkt P auf der x-Achse liegt ist das Trapez = 0

-> p = 0

ja meinte der Teiler fehlt ;-) aber egal... mal sehen wo das hier hinführt

würde ich nun also die 0 in die Gleichung einsetzen wäre ja alles bis auf r^3 weg... 0=r^3 scheint mir aber sinnlos zu sein :-/

Mache ne Pause jetzt und komme später wieder... Danke bis hierhin :-)
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte eher daran, dass der Punkt P direkt über M liegt, auch wenn das nach Vorgabe r < p < 2r genau genommen nicht zulässig ist (ist aber Lösung der Gleichung).

p = 0 funktioniert tatsächlich nicht, ebensowenig wie p = 2r.

Okay, dann bis später smile .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Incognita
@Leopold: Das funktioniert natürlich nur, wenn man die Ketten- und Produktregel kennt und ein sehr guter Schüler ist, der solche Vorteile sieht. Das kann man im Allgemeinen aber nicht voraussetzen.

Nein, es ist anders. Es ist nämlich eine schlechte Angewohnheit, Terme immer gleich auszumultiplizieren. Meiner Erfahrung nach ist es in 50 % der Fälle besser, nicht auszumultiplizieren. Es ist daher eine Frage der "mathematischen Erziehung", wenn das Ausmultiplizieren ansteht, sich erst zu fragen: Bringt es mir hier etwas? Macht es die Sache einfacher oder komplizierter?

Es gibt ja tatsächlich Schüler, die



erst ausmultiplizieren:



Um dann mit der Lösungsformel



zu berechnen. Unterwegs gehen dann noch einige Vorzeichen verloren, Zahlen werden falsch in den Taschenrechner eingetippt, so daß am Ende alles Mögliche herauskommt, nur nicht die Lösungen, die von Anfang an eigentlich klar waren, hätte man nur nicht wie ein Pawlowscher Hund ausmultipliziert.

Ob Gurletzky die Produkt- und Kettenregel kennt, weiß ich nicht. Ich bin jedenfalls bei der Komplexität der vorliegenden Extremwertaufgabe davon ausgegangen, daß der Differentiationskalkül vollständig behandelt ist. Was wäre z.B. gewesen, wenn nicht , sondern differenziert worden wäre? Dann hätte man auch die Kettenregel gebraucht.
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

Trapez minimal = P (r/r) oder P (2r/0)

hab ich zwar jetzt mit beiden Lösungen die Einschränkung verletzt...


noch eine Nebenfrage:
Den Winkel ABM berechnen für r=15 und p=27 hab ich 34,72°. Stimmt das?


Edit: Produkt und Kettenregel sind bekannt Freude
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

@Gurletzky:
Die Einschränkung wird zwar für P(r|r) verletzt, aber sie liefert zumindest eine Lösung der Gleichung, die dann nicht relevant ist. Damit kannst du durch Polynomdivision den Term vereinfachen, sofern du nicht Leopolds Vorschlag folgen willst.

War p = 27 vorgegeben?
Für den Winkel habe ich etwas anderes.
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: In Hessen wird beispielsweise in der E-Phase (=11. Klasse nach G9) die Technik des Quadrierens der Zielfunktion behandelt, gerade um Ableitungsregeln zu vermeiden, die erst in Q1 (= 12. Klasse nach G9) behandelt werden.

Was das Nicht-Ausmultiplizieren angeht, so steht natürlich die Gleichung auf einer ganz anderen Stufe, und erst vor wenigen Tagen habe ich hier einen Thread begleitet, bei dem es um die Quotientenregel ging (2. Ableitung) und in dem ich ausdrücklich auf das vorige Ausklammern hingewiesen habe.

Den vorliegenden Fall halte ich für einen Grenzfall: auf der einen Seite Produkt- und Kettenregel mit Ausklammern, auf der anderen Seite Polynomdivision.
Sofern ich nicht den Eindruck habe, dass sich ein Schüler komplett verrennt und ich beide Wege für etwa gleich schwer/leicht halte, folge ich den Vorschlägen des Schülers.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Komplexität der Lösung rührt letztlich daher, daß man diejenigen Größen zur Darstellung verwendet hat, die einem die Aufgabenstellung nahelegt, also und . Wenn man stattdessen die Länge der Strecke nimmt, also



so wird alles viel einfacher: wird zu



Und läßt sich viel einfacher untersuchen, sogar nach Ausmultiplizieren.

@ Gurletzky

Probiere, wenn der alte Ansatz zu Ende gerechnet ist, einmal diesen Ansatz. Du kannst daraus viel lernen: Zunächst, daß der erste Ansatz nicht immer der beste ist. Und zweitens, Mut zu bekommen, nach anderen Wegen Ausschau zu halten, wenn der erste Ansatz nicht richtig funktioniert. Dich also nicht auf eine einzige Möglichkeit zu versteifen.
Natürlich gehört Erfahrung dazu, den "besten" Ansatz zu finden. Aber wenn du verschiedene Wege übst, fallen dir dann, wenn es darauf ankommt, vielleicht auch mehrere Möglichkeiten ein.
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

hmm

irgendwie blick ich auf meinen 3 Seiten gekritzel zu dieser Aufgabe nicht mehr durch -.-

g(x) wäre in meinem Fall = den Wert für y_p^2? (kommt ja im Quadrat vor, passt das?)
f(x) wäre demnach meinem Term für A^2?

Kann ich die so im Quadrat einsetzen?

edit: Moment noch hier, ich probiere erstmal den letzten Post von Leopold aus... stelle Fragen, wenn die dann auftauchen ;-)


Zur anderen Frage:
p = 27 ist in dieser Teilaufgabe gegeben, sowie r=15 auch.
Habe dann darauf geschlossen, dass MA = 27-15 = 12 ist. Anschliessend MP = 15 darauf folgt mit dem Pythagoras AP = 9.
AP = wie B und ein Punkt (nennen wir den mal C) senkrecht zu B auf der x-Achse.
CA = 2*MA = 24
CB = 9
Dann hab ich doch nen Rechtwinkliges Dreieck und der Winkel den ich suche ist die Hälfte da ich ja zum Punkt M in der Mitte gehe....
so hab ich dann schlussendlich den arctan von 24/9 genommen und halbiert
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gurletzky
edit: Moment noch hier, ich probiere erstmal den letzten Post von Leopold aus... stelle Fragen, wenn die dann auftauchen ;-)


Nichts dagegen. Aber du solltest auf jeden Fall den alten Weg zu Ende führen, sei es mit einer Polynomdivision, wie von Incognita vorgeschlagen, oder durch Ableiten, ohne zuvor auszumultiplizieren.
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

Okay eins nach dem anderen. Ich beginne jetzt mit der Variante Polynomdivision...

Den Term 2p^3.... = 0 muss nun wie aufgestellt werden um zu rechnen? = r?
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion lautete vor dem Ausmultiplizieren



wobei 9/4 als konstanter Faktor beim Ableiten erhalten bleibt.


Zum Winkel: die Überlegungen zu den Längen sind richtig, aber der Winkel ABC wird durch BM nicht halbiert! Berechne den Winkel als Differenz zweier Winkel.
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm ja gar nicht mehr nach Big Laugh

Polynomdivision:

Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

Ok hab die Polynomdivision mal gemacht --> wie kamen wir jetzt eigentlich darauf durch (p-r) zu dividieren?

Habe erhalten...

edit: ach weil x Koordinate von P(p/...) und M (r/...) und deshalb minus gerechnet, um dann direkt über dem M zu stehen? --> Minima?

Zum Winkel:
Hab nun 16.314° (gerundet) raus... sag bitte "ja das stimmt" verwirrt
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Ergebnis der Polynomdivision und Winkel stimmen. smile Freude

war ja eine Lösung der Gleichung , und dewegen konnten wir durch dividieren.

Nun setz und bestimm die weiteren Lösungen für . Eine davon wird unsere gesuchte Lösung sein.
Gurletzky Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Kopf arbeitet nicht mehr... habe das Gefühl, dass es bei dieser Aufgabe noch keinen Schritt einfach ging, hehe. Bin auf jedenfall gerade nicht in der Lage (obwohl die Lösung bekannt aus einem früheren Post) diese Gleichung zu lösen Hammer

Komme später oder morgen wieder darauf zurück... Freude
Incognita Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt haben wir ja nur noch eine quadratische Gleichung.

Bis später smile
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