quadratische Gleichung mit Matrizen als Koeffizienten

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max_doering Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Gleichung mit Matrizen als Koeffizienten
Guten Abend,

Beim versuch ein lineares homogendes DGL-System system 2. Ordnung zu lösen, bin ich auf folgendes Problem gestoßen: Gesucht ist die Lösung folgender Gleichung



Wobei und (.. in meinem speziellen Fall ist n=2, ich vermute jedoch, dass das für das Lösungsverfahren egal ist!)

Meine intuitiver Ansatz zur Lösung (ich bin Physiker, also leider kein waschechter Mathematiker Augenzwinkern ) führt mich durch quadratische Ergänzung auf eine Gleichung die Im Prinzip der "Lösungsformel" für Binome in R bzw. C entspricht.





Bei der "Wurzel einer Matrix" war ich mir nicht ganz sicher, doch scheinbar ist diese ganz Analog zu R bzw. C definiert



Gehen wir also einmal davon aus, dass zu der entsprechenden Matrix eine Wurzel existiert. Ich erwarte also als Lösung eine Diagonalmatrix mit den entsprechenden Lambdas in jedem Eintrag. Wenn ich das ganze jedoch an Beispielen durchrechne erhalte ich jedoch niemals Diagonal-Matrizen. Einen Fehler in den Umformungen kann ich leider nicht entdecken :/ (Eine Möglichkeit ist vielleicht die Mehrdeutigkeit der Wuzrel!? Aber die ist ja auch im eindimensionalen gegeben!)

Kann mir jemand von euch sagen was ich falsch gemacht habe bzw. wie ich auf anderem Weg an Lösungen der Gleichung komme?

viele Grüße.
Max!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische Gleichung mit Matrizen als Koeffizienten
Zitat:
Original von max_doering


RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische Gleichung mit Matrizen als Koeffizienten
Ist beliebig oder vorgegeben? Wenn deine Gleichung für alle gelten soll, dann stimmt deine Schlussfolgerung:



ansonsten nicht, wie schon Leopold bemängelte. Dann gilt nur, dass , woraus man aber noch nicht bestimmen kann.

Würde aber gelten


dann müsste so bestimmt werden, dass , da im ersten Fall nur einen trivialen Kern hätte. Voraussetzung natürlich, dass .

Aber, ehrlich gesagt, finde ich das Ganze ein bisschen seltsam. Gesetzt den Fall, dass gelten soll, dann gilt die Gleichung für jede einzelne Komponente von , insbesondere auch für alle Komponenten abseits der Hauptdiagonale. Dort gilt


Es wäre also eine Bedingung an die Matrizen , dass die eine ein Vielfaches der anderen ist abseits der Hauptdiagonale. Das Verhältnis ist also schon dadurch bestimmt. Die Werte auf der Hauptdiagonale müssen damit kompatibel sein, sodass sich wieder eine eindeutige funktionale Abhängigkeit ergibt:
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