Nullzeile bei Gauß Jordan? |
| 29.06.2014, 16:16 | Scherenkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Nullzeile bei Gauß Jordan? habe mal wieder eine Frage und zwar sitze ich grad an Übungsaufgaben für die Klausur dran und dachte, ich löse das Gleichungssystem Ax = b in Windeseile. Einmal ist es vorgegeben, exakt mit Gauß Jordan zu lösen, einmal in Fließpunktzahlen und Rundungsverfahren. Stehe aber nach schon ziemlich schnell vor dem Problem, dass eine Nullzeile entsteht und ich dann nicht mehr weiter weiß, wie ich die Matrix auf die Einheitsform bringen kann. Das ist aber bei dem Gauß Jordan Verfahren gefragt. Die Matrix sieht am Anfang so aus: Die vierte Spalte ist b und die ersten drei Spalten ist A. Schon nach dem ersten Schritt bekomme ich in der zweiten Zeile ein Nullzeile. Diese habe ich vertauscht um die Stufenform zu bekommen, dann erhalte ich folgende Matrix: So, und nun weiß ich nicht mehr weiter. Ich muss die Elemente über der Hauptdiagonalen ja elimieren, aber das geht sich nicht aus. Wäre supernett, wenn mir ab da jemand weiter helfen kann. Danke und LG |
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| 29.06.2014, 16:24 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
In so einem Fall ist das LGS mehrdeutig lösbar. Du musst nun einen Parameter einfügen. Wähle zum Beispiel z=t Und löse nun das LGS in Abhängigkeit dieses Parameters. |
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| 29.06.2014, 16:49 | Scherenkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hui, vielen Dank schon mal. Ich bekomme dann also raus: x3 = t x2 = -12 + 4/3 t x1 = 32 - 16/3 t Wenn ich jetzt für x3 2 einsetze, bekomme ich als Lösungen 2, -28/3 und 64/3 als eine Beispielslösungsmenge. Das passt soweit, aber nun noch zwei Fragen. Wie schreibe ich das korrekt formal hin? Es ist ja nur eine mögliche von unendlich vielen Lösungsmengen? Die zweite Frage: Es wird doch gefordert, das mit dem Gauß-Jordan Verfahren zu lösen. Genau genommen ist das aber doch nur das Gauß Verfahren mit anschließender "Rückwärtssubtitution" oder nicht? Achja und kann ich davon ausgehen, dass ich bei JEDEM Fall, wo ich eine Nullzeile erhalte, dann die Lösung in Abhängigkeit eines Parameters finden muss, weil es mehrere Lösungen gibt? LG Benny |
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| 29.06.2014, 17:20 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein. Es gibt drei Fälle. Entweder gibt es eine eindeutige Lösung, also wenn du keine Nullzeile hast, unendlich viele, oder keine. Die letzten beiden Fälle treten auf wenn eben eine Nullzeile entsteht. Wenn diese nun keine "wahre Aussage" ergibt, dann gibt es keine Lösung. Das ist in deinem Fall jedoch gegeben, weil die Nullzeile ja ausgeschrieben lautet Was sicherlich wahr ist. Es gibt aber auch Gleichungssystem wo du so etwas erhalten könntest. Und das ist sicherlich immer falsch, weil da 0=5 steht egal was du für x_1, x_2 oder x_3 einsetzt. Dann gibt es keine Lösung.
In wie weit man sprachlich und "algorithmisch" zwischen diesen beiden Verfahren unterscheidet ist mir nicht klar. Ich behaupte mal, dass es egal ist. Den Gauß-Jordan-Algorithmus kenne ich eigentlich auch nur unter diesem Namen aus dem Internet und habe es sonst nie in der Schule oder an der Uni gehört.
Rechenweg und die Angabe des Lösungsvektors sollte reichen. Du gibst den Lösungsvektor ja in Abhängigkeit des Parameters an und wie dann die Lösung am Ende aussieht kann dann jeder selber nachrechnen, wie du es ja auch an dem Beispiel 2 getan hast.
Vorausgesetzt deine erste Umformung stimmt, ist dies ebenfalls korrekt. Ich erkenne in deiner zweit genannten Matrix jedoch nicht unbedingt wie genau du nun gerechnet hast Nach meiner Umformung sieht die Matrix so aus: Ob die zweite und dritte Zeile getauscht ist spielt für die Lösung des LGS keine Rolle, ich erhalte jedoch ein anderes Vorzeichen. Vielleicht habe ich mich aber auch nur selber verrechnet (ich habe es aber nachgerechnet, aber vielleicht habe ich mich da einfach wieder verrechnet, weshalb ich es noch einmal nachgerechnet habe und mich möglicherweise einfach drei mal verrechnet habe) Fazit: Am besten rechnest du es einfach noch einmal selber nach. 
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| 29.06.2014, 17:30 | Scherenkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hi, vielen Dank für die ausführliche Erklärung, dann weiß ich Bescheid. Also ich habe den Gauß Jordan noch mit dem "erweiterten Gauß" in Verbindung gebracht, also dass man zuerst unterhalb der Hauptdiagonalen die Elemente eliminiert und dann oberhalb - Am Ende dann die Hauptdiagonale auf 1 bringen. Aber anders kann es ja anscheinend eh nicht gehen, von daher ist das ja zweitrangig. Zu deiner Korrektur: Habe jetzt nochmal nachgeschaut. Ich multipiliziere die erste Zeile mit -2 und addiere sie zur dritten Zeile. Macht bei mir -2+5 = +3 ^^ Ups, ich sehe grad. Ich habe in der ersten Matrix schon die bearbeitete Zeile rein. Da bin ich beim Abschreiben verrutschts. Die Ausgangszeile, die ich zum umformen benutzt habe, hieß (1/8, 1/4, 1/3 | 1).. Aber danke für den Hinweis, SO wäre es tatsächlich falsch gewesen. |
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| 29.06.2014, 17:32 | Scherenkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Muss mich wieder verbessern. Hab doch alles richtig geschrieben. Vielleicht bist du einfach nur verrutscht beim Lesen? Also so wie es da steht, muss man auf die zweite Matrix kommen ^^ |
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| 29.06.2014, 17:41 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, sollte passen. Ich habe meinen Fehler mittlerweile selber gefunden, nachdem ich ihn weitere zwei mal begangen habe. Hast du dann noch irgendeine Frage zu dieser Aufgabe, oder ist alles geklärt? |
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| 29.06.2014, 17:50 | Scherenkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay, danke. Ja eine weitere Frage hätte ich noch zum zweiten Teil der Aufgabe. Da soll man alles in Fließpunktzahlen rechnen, bei jeder Eingabe und nach jeder Rechenoperation runden mit mantissenlänge 2 und dem Rundungsverfahren ties round to even. Nur eine kleine Frage dazu. Ist es möglich, dass hier KEINE Nullzeile entstehen kann? Habe mal angefangen, das zu rechnen und es würde dann ganz normal lösbar sein und entsprechend nur eine Lösung haben. Ist das möglich, dass es bei exaktem Rechnen mehrere Lösungen gibt und bei bestimmten Rundingsverfahren nur noch eine? |
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| 29.06.2014, 17:54 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da bin ich leider überfragt, diese Verfahren kenne ich gar nicht. Am besten machst du dazu auch einen neuen Thread auf. Ist das Numerik? |
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| 29.06.2014, 17:57 | Scherenkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, ich studiere Wirtschaftsinformatik und ich gehe davon aus, dass das halt gern ein Thema bei Informatikern ist, genau so wie die Lösung von LGS mit LR-Zerlegungen, weil das wohl so der Computer rechnen würde, wenn ich das verstanden habe. Daran mache ich mich jetzt, vielleicht kommt im Laufe des Abends noch eine Frage zu diesem Thema 
Dann aber in einem neuen ThreadZu meiner Frage vorhin. Eigentlich ist es ja logisch, dass bei nicht exaktem Rechnen ganz andere Ergebnisse kommen können, aber ob es auch logisch ist, dass dann plötzlich nur noch EINE Lösung existiert? Mhm |
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| 29.06.2014, 18:02 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Eigentlich ist es "logisch" das nur noch eine Lösung existieren kann. Du musst einfach so ungenau rechnen, dass keine Nullzeile entsteht... Aber wie gesagt, am besten in einen anderen Thread. Ich muss mich nun ohnehin verabschieden. |
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| 29.06.2014, 18:05 | Scherenkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, danke für die Hilfe und nen schönen Abend noch |
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| 29.06.2014, 19:13 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gern geschehen. |
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