Implizite Funktion

29.06.2014, 23:57

DeltaX

Implizite Funktion

Hallöchen! Wink

Ich hatte heute Abend durch m.E. uninteressantere WM-Spiele noch etwas Zeit für folgende Aufgabe:

Es geht um implizite Funktionen:

Gegeben sei $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x^2+y)^2 -2a^2(x^2-y^2) \end{eqnarray*}$
Nun soll von mir gezeigt werden, dass unter der Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ ist, eine implizite, differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x_0 = \sqrt 2 a \end{eqnarray*}$ in einer offenen Menge U in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(\sqrt 2 a)=0 \end{eqnarray*}$ definiert wird. Anschließend solle die Ableitung von Phi an der Stelle x0 berechnet werden.

$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$

In der Vorlesung haben wir gesagt, dass es Funktionen geben kann, und auch gibt, die nur in einem Gebiet nach einer Variable aufgelöst werden können (Problematisch z.B. bei der Kreisgleichung, da es z.T. vorkommen kann, dass der Wurzelausdruck negativ wird).

Was ich bereits weiß:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x^2+y)^2 -2a^2(x^2-y^2)=0, \qquad x_0=\sqrt 2 a, \qquad \varphi (\sqrt 2 a)=0 \end{eqnarray*}$

Ich setze $\begin{eqnarray*} x_0=\sqrt 2 a \end{eqnarray*}$ ein und erhalte:

$\begin{eqnarray*} f(x_0,y)=(2a^2+y)^2-2a^2(2a^2-y^2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4a^4+4a^2y+y^2-4a^4+2a^2y^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4a^2y+y^2(1+2a^2)=0 \qquad | \text {Wenn y} \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4a^2+y(1+2a^2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y= \frac {-4a^2}{1+2a^2} \end{eqnarray*}$

Das habe ich soweit heraus, aber eigentlich habe ich gedacht, dass man auch hier als Ergebnis eine Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ herausbekommt; zurzeit ist hier ja eine Konstante Funktion gegeben, da a ja eine reelle Zahl ist.

Ich bin also irgendwo falsch abgebogen...

Kann mir jemand einen Tipp geben wo?
Dankeschön!

Gute Nacht! Wink

30.06.2014, 01:47

frank09

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RE: Implizite Funktion
Du hast in die Funktion y(x), die nicht konstant ist, bereits einen Wert für x, nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 a \end{eqnarray*}$ eingesetzt und somit $\begin{eqnarray*} y(\sqrt 2 a) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.

30.06.2014, 13:54

DeltaX

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Hallo und danke für die Antwort! Wink

Achso, okay also hätte ich $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ nur nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen
und dann
$\begin{eqnarray*} \varphi(x):=y(x) \end{eqnarray*}$ setzen.
Über

$\begin{eqnarray*} \varphi(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ erhalte ich ja dann eine Lösung für a, richtig?

Dann würd ich auch verstehen, wie genau eine implizite Funktion zu verstehen ist, wenn ich gerade keinen Fehler gemacht habe.

30.06.2014, 14:47

frank09

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RE: Implizite Funktion

Zitat:

Achso, okay also hätte ich $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ nur nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen

Die Funktion lässt sich nicht nach y auflösen, d.h y steht immer auf beiden Seiten

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4a^2y+y^2(1+2a^2)=0 \qquad | \text {Wenn y} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Es gilt ja gerade y=0 an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=\sqrt 2 a \end{eqnarray*}$

Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y(4a^2+y(1+2a^2))=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$

30.06.2014, 15:00

DeltaX

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Hallo und danke für die Antwort Wink

Ich verstehe was du gemacht hast und sehe auch, dass ich y nicht isolieren kann, aber dann stehe ich vor dem Problem, dass ich folgendes verstehe:

Zitat:

Es gilt ja gerade y=0 an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=\sqrt 2 a \end{eqnarray*}$

Demnach ist ja doch $\begin{eqnarray*} y(x)=\varphi(x) \end{eqnarray*}$ , richtig?

Wie ist es mir dann aber hier möglich, die implizite Funktion als Lösung anzugeben?
Die benötige ich ja anschließend für $\begin{eqnarray*} \frac {\partial \varphi (x_0)}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Wenn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y=0, \qquad \forall a \neq 0 \end{eqnarray*}$

,
dann ist das mit der Ableitung ja nicht so sinnig, oder?

Dankeschön!

30.06.2014, 18:44

DeltaX

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Hallo!

Ich habe noch weiter herumprobiert, aber die Lösung $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ hilft mir für den Rest der Aufgabe irgendwie nicht weiter...

Hat jemand einen Tipp für mich?

Dankeschön!

30.06.2014, 20:29

Leopold

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RE: Implizite Funktion
Differenziere die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x^2+y)^2 -2a^2(x^2-y^2) = 0 \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , aber nicht im Sinne der partiellen Ableitung, sondern indem du $\begin{eqnarray*} y = \varphi(x) \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ansiehst. Beachte, daß zum Beispiel aus $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ dabei $\begin{eqnarray*} 2yy' \end{eqnarray*}$ wird (Kettenregel).
In die differenzierte Gleichung kannst du dann $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \, a, \, y=0 \end{eqnarray*}$ einsetzen und daraus $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \, a \end{eqnarray*}$ berechnen.

Und hier liefere ich noch ein Bild nach für $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ . Der rote Bereich zeigt einen Ausschnitt der Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , um die es geht.

[attach]34734[/attach]

30.06.2014, 20:58

DeltaX

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Hallo und vielen Dank für die Antwort! Wink

Ich habe das mal gemacht, und der Übersichtlichkeit halber y noch als y gelassen.

$\begin{eqnarray*} (x^2+y)^2-2a^2x^2+2a^2y^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^4+2x^2y+y^2-2a^2x^2+2a^2y^2=0\qquad | \frac d {dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4x^3+2\cdot (2xy+x^2y')+2y\cdot y'-4a^2x+4a^2y \cdot y' =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4x^3+4xy+2x^2y'+2y\cdot y'-4a^2x+4a^2y \cdot y' =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y'(2x^2+2y+4a^2y)+4x^3+4xy-4a^2x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y'(2x^2+2y+4a^2y)=-x(2+4y-4a^2) \qquad |:2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y'(x^2+y+2a^2y)=-x(2x^2+2y-2a^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y'(x^2+y+2a^2y)=-2x(x^2+y-a^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y'(x,a)=\frac {-2x(x^2+y-a^2)}{x^2+y+2a^2y} \end{eqnarray*}$

Dementsprechend setzt ich nun $\begin{eqnarray*} x= \sqrt 2 a, y=0 \end{eqnarray*}$ und erhalte:

$\begin{eqnarray*} y'(\sqrt 2 a)= \frac {-2\sqrt 2 a \cdot ( 2a^2-a^2)}{2a^2} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} y'(\sqrt 2 a) =- \sqrt 2 a \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

Ist dies dann eigentlich auch Beweis genug dafür, dass die Gleichung f(x,y)=0 eine implizite Gleichung definiert, oder muss man da noch was zu schreiben?

Danke aufjedenfall für deine Antwort, wäre lieb wenn Du kurz drüber schaust smile

30.06.2014, 23:18

Leopold

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Die Rechnung scheint mir richtig (bis auf einen Schreibfehler in der Zeile, wo |:2 steht), aber umständlich. Ich hätte so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} (x^2+y)^2 - 2a^2 \cdot (x^2 + y^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt differenzieren und durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ dividieren:

$\begin{eqnarray*} (x^2+y) \cdot (2x+y') - a^2 \cdot (2x+2yy') = 0 \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{2} \, a \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 2a^2 \cdot (2 \cdot \sqrt{2} \, a + y') - a^2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \, a = 0 \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} y' = - \sqrt{2} \, a \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von DeltaX
Ist dies dann eigentlich auch Beweis genug dafür, dass die Gleichung f(x,y)=0 eine implizite Gleichung definiert, oder muss man da noch was zu schreiben?

Darüber gibt der Hauptsatz der impliziten Funktionen Auskunft.

01.07.2014, 00:34

DeltaX

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Hey

Danke für die Antwort!

Ich meine das reicht, da der Hauptsatz sagt, dass man ohne Kenntniss von beispielsweise y(x) (>Implizite Funktion) dessen Ableitung berechnen kann.
Da ich gezeigt habe, dass die Ableitung existiert und einen reellen Wert angenommen hat, müsste das ausreichend sein. [Richtig? Big Laugh

]

Eine Zusatzfrage war, ob der Satz auch im Punkt $\begin{eqnarray*} \vec 0 \end{eqnarray*}$ anwendbar ist.

Ich denke schon, da wir dann für $\begin{eqnarray*} \varphi ' (x)= \frac 00 \end{eqnarray*}$ erhalten, was sodass der limes gegen 0 existiert und wir keinen Widerspruch erhalten...

So meine Theorie smile

Edit:// Ich habe die Regularität von $\begin{eqnarray*} f_y(x,y) \end{eqnarray*}$ nicht bedacht:

$\begin{eqnarray*} f_y=y(2+4a^2)+2x^2 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \backslash \{ 0\} \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} f_y =0~ \text {für} ~ (x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$
Also ist der Satz im Punkt (0,0) nicht anwendbar.

01.07.2014, 07:51

Leopold

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Einmal ganz anschaulich (siehe die Figur).

Du nimmst irgendeinen Punkt $\begin{eqnarray*} p_0=(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ der Brillenkurve und betrachtest Umgebungen dieses Punktes. Denke dir Kreise um diesen Punkt. Wenn es nun einen möglicherweise kleinen Kreis $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gibt, so daß die Kurve in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ wie der Graph einer Funktion aussieht, ganz wie du das aus der Schule kennst, dann wird durch $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ lokal bei $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ implizit eine Funktion definiert, d.h. die Kurvenpunkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \in U \end{eqnarray*}$ besitzen eine Darstellung $\begin{eqnarray*} y = \varphi(x) \end{eqnarray*}$ . Sprechweise: $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ kann bei $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ lokal nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden.

Jetzt betrachte einmal den Punkt $\begin{eqnarray*} p_0 = \left( \sqrt{2} \, a \, , \, 0 \right) \end{eqnarray*}$ (der befindet sich dort, wo das rote Stück die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse schneidet) und das andere Mal den Punkt $\begin{eqnarray*} q_0 = \left( 0 \, , \, 0 \right) \end{eqnarray*}$ und beurteile die Situation hinsichtlich lokaler Auflösbarkeit nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ beziehungsweise $\begin{eqnarray*} q_0 \end{eqnarray*}$ .

01.07.2014, 08:19

DeltaX

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Guten Morgen! Wink

Dann stimmt meine Aussage ja.

Das rote Stück "sieht ja aus" wie eine Kurve, also definiert $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \text {bei} x_0= \sqrt 2a,~y=0 \end{eqnarray*}$ implizit eine Funktion.

Bei $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ geht das dann nicht mehr.

Den Ansatz mit
$\begin{eqnarray*} f_y(x,y) \neq 0 \end{eqnarray*}$ habe ich aus meiner Vorlesung, und deshalb auch mit in die Aufgabe genommen, da das unser hinreichendes Kriterium für die implizite Funktion war.

So jetzt hoffe ich, es ist richtig.

Dankeschön für deine Hilfe! Freude

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