Konvergenz Newton-Verfahren |
30.06.2014, 16:06 | AntonDieAmeise | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Konvergenz Newton-Verfahren Konvergiert das Newton Verfahren mit dem Startwert für folgende drei Funktionen? Wenn ja wie schnell? Wie können Sie für die Funktion f(x) die quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens sicherstellen? Meine Ideen: bei f(x) habe ich eine doppelte Nullstelle also lineare Konvergenz (oder Superlinear?). Bei g(x) habe ich eine einfache Nullstelle, also habe ich quadratische Konvergenz (da die Funktion linear, bin ich sogar in einem Iterationsschritt fertig). Bei h(x) habe ich sowohl eine einfache Nullstelle als auch eine mehrfache, Konvergenz ist also einmal quadratisch und einmal linear. Wie zeige ich am besten, dass die Verfahren bei dem gegebenen Startwert auch tatsächlich konvergieren? Newton garantiert ja nur lokale, aber keine globale Konvergenz. Zur zweiten Aufgabe: wenn ich bei Aufgabe f(x) quadratische Konvergenz will, wie stelle ich das an? Das einzige was mir einfällt ist, die Funktion zu zerlegen in und dann nur die Nullstelle für zu bestimmen. Gibt es noch eine andere Möglichkeit das zu lösen? |
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01.07.2014, 08:44 | Ändru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz Newton-Verfahren Hi, zu a.) Hast du denn schonmal ein oder zwei Stellen gerechnet? Wenn nein, dann mach das mal und du wirst die Frage ganz schnell beantworten koennen. Hast du denn schonmal was vom gedaempften Newton-Verfahren gehoert? Damit laesst sich die Konvergenz "retten" zu b.) Deine Antwort ist richtig aber deine Begruendung nicht ganz... Was ist denn das Kriterium dass das NV quadratisch konv.? zu c.) Die Richtung ist schonmal richtig aber deine Begruendung nicht.... rechne doch einfach mal ein paar Stellen zum Startwert aus bzw. zu den Nullstellen. Allg. Konvergenz) Was ist denn das allgmeine Kriterium damit eine Fixpunktiteration ueberhaupt konvergiert? Gruesse |
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01.07.2014, 18:39 | AntonDieAmeise | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz Newton-Verfahren
Wäre euch für weitere Tipps echt dankbar |
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03.07.2014, 08:25 | Ändru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, zu a.) Ja das kannst du ist aber im allgemeinen sehr schwer es gilt doch: wobei der Fikpunkt ist. Nun stellt sich ja die Frage was ist welche werte die Konstante annehmen kann. beschreibt die Konvergenzordnung. Hast du denn eine Idee was sein koennte? Denk mal an an die Stetigkeit! Ang. wir kennen und kennen auch , dann brauchst ja nur noch die und schon bist du fertig. Du kennst ja (zum Glueck!) den Fixpunkt, also kannst du und solltest auch die information verwenden. zu b.) Dein NV konvergiert genau dann quadratisch wenn gilt, dass ist. Nun kannst du dir ueberlegen was das denn heisst. zu c.) du hast immer lineare Konvergenz, das nennt man halt so, auch wenn sie etwas schlechter ist in dem Sinn, dass du nicht nach jedem Schritt eine Stelle bzgl. der Genauigkeit dazugewinnst. allg. ) Richtig! es musst gelten: Nun denk mal nach, was passiert wenn du zeigen kannst, dass die Eigenschaft immer gilt. Wie nennt man diese Eigenschaft (ist die gleiche Frage wie bei a.) )? Gruesse |
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03.07.2014, 08:43 | Ändru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nachtrag: Es gibt noch ein Lemma das besagt wenn, ist, dann ist die Konvergenzordnung . Wenn ist, dann ist . Hinweis: mit ist die Folge gemeint! |
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