Matrix bestimmen - Abbildung

30.06.2014, 21:46

akamanston

Matrix bestimmen - Abbildung

hi

schaut mal.gegeben ist
$\begin{eqnarray*} F: R_{2}[x]->R_{3}[x] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(x)-> xp(x) -p'(x) \end{eqnarray*}$

nun soll ich matrix A bestimmen zur kanonischen Basis 1,x,x^2 und 1,x,x^2,x^3. das sind also zwei matrizen die zu bestimmen sind???

$\begin{eqnarray*} 1---> x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x--->-1+x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}--->-2x+x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}--->-3x^2+x^4 \end{eqnarray*}$
die erste matrix wäre somit
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 &0& -2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das? mit verwirrt die angabe von $\begin{eqnarray*} R_{2}[x]->R_{3}[x] \end{eqnarray*}$ . ich kann das nicht handeln

30.06.2014, 23:04

Helferlein

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Wieso zwei Matrizen für eine Abbildung?
Könntest Du denn eine Abbildungsmatrix zu f (x)=(x, 2x) angeben? Wenn ja, dann mach Dir mal Gedanken über die Dimensionen der Räume und die Größe der Darstellungsmatrix.

01.07.2014, 01:18

akamanston

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Zitat:

Original von Helferlein
Wieso zwei Matrizen für eine Abbildung?

eine matrix für 1,x,x^2 und eine matrix für 1,x,x^2,x^3

Zitat:

Könntest Du denn eine Abbildungsmatrix zu f (x)=(x, 2x) angeben?

nein

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1---> x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x--->-1+x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}--->-2x+x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}--->-3x^2+x^4 \end{eqnarray*}$

ist das unsinn?

01.07.2014, 09:35

RavenOnJ

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RE: Matrix bestimmen - Abbildung

Zitat:

Original von akamanston
mit verwirrt die angabe von $\begin{eqnarray*} R_{2}[x]->R_{3}[x] \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbb R_k[X] \end{eqnarray*}$ ist der Raum der Polynome vom Grad kleinergleich k über dem Körper der reellen Zahlen. Dieser ist k+1-dimensional. Du suchst also eine 4x3-Matrix mit reellen Einträgen.

01.07.2014, 09:50

akamanston

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RE: Matrix bestimmen - Abbildung

Zitat:

[/QUOTE]
ok, das sagt mir schon eher etwas.

ist denn das richtig?
$\begin{eqnarray*} 1--->0+x+0x^2+0x^3+0x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x--->-1+0x+x^2+0x^3+0x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}--->0-2x+x^3+0x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}--->0+0x-3x^2+0x^3+x^4 \end{eqnarray*}$
oder ist das ein totales chaos? hier komme ich nämlich auf keine 4x3 matrix
ich dachte ein zwei matrizen, weil in der angabe steht
liegt es bei der formulierung denn nichtauf der hand, dass zwei matrizen gesucht sind?

Zitat:

Was ist die zugehörige matrix A in den kanonichen Basen 1,x,x^2 und 1,x,x^2,x^3?

01.07.2014, 09:57

RavenOnJ

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RE: Matrix bestimmen - Abbildung
Eine lineare Abbildung wird durch eine Matrix dargestellt. Wenn der Urbildraum und der Zielraum unterschiedliche Dimensionen haben, dann ist dies offenbar keine quadratische Matrix. Hier ist der Urbildraum 3-dimensional und der Zielraum 4-dimensional. Also handelt es sich bei der Darstellungsmatrix um eine 4x3-Matrix.

PS: deine Lösung ist falsch

01.07.2014, 17:07

Helferlein

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Falsch würde ich nicht sagen, aber man sollte schon wissen, dass $\begin{eqnarray*} x^3\notin R_2[X] \end{eqnarray*}$
Ansonsten wurde schon alles wesentliche gesagt: Mithilfe der Bilder der einen Basis, welche Du durch die andere darstellen musst, erhältst Du eine 4x3-Darstellungsmatrix.

01.07.2014, 22:54

akamanston

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$\begin{eqnarray*} 1--->0+x+0x^2+0x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x--->-1+0x+x^2+0x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}--->0-2x+x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}--->0+0x-3x^2+0x^3 \end{eqnarray*}$
und daraus folgt dann die matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &-1 & 0&0 \\ 1 &0 & -2&0 \\0 & 1 & 1&-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
verwirrt

02.07.2014, 00:56

RavenOnJ

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4x3-Matrix bedeutet eine Matrix mit 4 Zeilen und 3 Spalten. Sollte eigentlich klar sein, da der Urbildraum 3-dimensional und der Zielraum 4-dimensional ist.

02.07.2014, 01:02

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Helferlein
Falsch würde ich nicht sagen, aber man sollte schon wissen, dass $\begin{eqnarray*} x^3\notin R_2[X] \end{eqnarray*}$

Hast recht, er hat die Aufgabe für die analoge Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R_3[X]\to\mathbb R_4[X] \end{eqnarray*}$ gelöst.

18.07.2014, 20:58

akamanston

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hello again=)

also, ich bin jetzt zu folgendem entchluss gekommen
ich schreibe mal alles komplett hin

$\begin{eqnarray*} 1--->0+x+0x^2+0x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x--->-1+0x+x^2+0x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}--->0-2x+x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}--->0+0x-3x^2+0x^3 \end{eqnarray*}$

und daraus ergibt sichd dann unter der bedingung $\begin{eqnarray*} F: R_{2}[x]->R_{3}[x] \end{eqnarray*}$ die matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &-1 & 0 \\ 1 &0 & -2 \\0 & 1 & 0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das ergebnis stimmt, aber habe ich das so richtig beschrieben vorher?

die aufgabenstellung "was ist die zugehörige matrix a in den kanonischen basen $\begin{eqnarray*} 1,x, x^2 \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} 1,x, x^2,x^3 \end{eqnarray*}$ " verwundert mich, vor allem das und, das klingt für mich so, als wenn 2 matrizen gesucht sind.

ich dachte auch anfangs R2 bedeute 2x2 matrix und R3 3x3

18.07.2014, 21:37

RavenOnJ

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Zitat:

Original von akamanston

$\begin{eqnarray*} 1--->0+x+0x^2+0x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x--->-1+0x+x^2+0x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}--->0-2x+x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\color{red}x^{3}}--->0+0x-3x^2+0x^3 \end{eqnarray*}$

und daraus ergibt sichd dann unter der bedingung $\begin{eqnarray*} F: R_{2}[x]->R_{3}[x] \end{eqnarray*}$ die matrix

Im Definitionsbereich von F gibt es keine Polynome 3. Grades. Warum schreibst du also diese unnötige Zeile?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &-1 & 0 \\ 1 &0 & -2 \\0 & 1 & 0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das ergebnis stimmt, aber habe ich das so richtig beschrieben vorher?

die aufgabenstellung "was ist die zugehörige matrix a in den kanonischen basen $\begin{eqnarray*} 1,x, x^2 \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} 1,x, x^2,x^3 \end{eqnarray*}$ " verwundert mich, vor allem das und, das klingt für mich so, als wenn 2 matrizen gesucht sind.

ich dachte auch anfangs R2 bedeute 2x2 matrix und R3 3x3

Es handelt sich bei den Basen um die Basis des Definitionsbereich und um die Basis des Zielbereichs. Da es sich um zwei unterschiedliche Vektorräume mit unterschiedlichen Dimensionen handelt, ist die Abbildungsmatrix nicht quadratisch.

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