Beweis einer Summe

01.07.2014, 11:27

Bill 99

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Beweis einer Summe

Meine Frage:
Hallo ich soll folgendes Beweisen :
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=2}^\infty (\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{n^{k}} ) = 1<br /> \end{eqnarray*}$

Ich habe mir gedacht mache es mit der Vollständigen Induktion aber irgendwie klappt es nicht.

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht mache es mit der Vollständigen Induktion aber irgendwie klappt es nicht. Bekomme für n,k = 2 definitiv keine 1 raus
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n} * \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{1^{k} } <br /> \end{eqnarray*}$

Kann man das so auseinander ziehen ?

Danke schon mal für die Hilfe MFG

01.07.2014, 11:34

10001000Nick1

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RE: Beweis einer Summe

Zitat:

Original von Bill 99
Ich habe mir gedacht mache es mit der Vollständigen Induktion aber irgendwie klappt es nicht. Bekomme für n,k = 2 definitiv keine 1 raus

Es soll ja auch nicht ein einzelner Summand 1 sein, sondern der Wert der Reihe.

Zitat:

Original von Bill 99
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n} * \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{1^{k} } <br /> \end{eqnarray*}$

Kann man das so auseinander ziehen ?

Nein, natürlich nicht. Wie kommst du denn darauf, dass das das Gleiche ist? Das, was du hingeschrieben hast, sind zwei divergente Reihen.

Fang erstmal mit der inneren Reihe an: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$
Das ist eine geometrische Reihe, da kannst du eine explizite Formel für den Wert dieser Reihe finden (natürlich abhängig von n).

01.07.2014, 11:38

Gast11022013

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Wie man du hier die vollständige Induktion anwenden möchtest, wüsste ich nicht.
Möchtest du eine Art Bildungsgesetz in der Reihe finden und dann zeigen, dass dies gegen 1 geht? Ich denke nicht, dass man ein solches angeben kann.

Arbeite dich bei der Summe von innen nach außen. Berechne also zu erst

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

Wonach sieht das erstmal aus?
Was musst du tun, damit du das wonach es aussieht auch anwenden kannst?

Edit: Bin weg.

01.07.2014, 13:16

Bill 99

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Erst mal Danke für die schnelle Antwort. Ich rechne den Grenzwert gleich mal aus
Und danke das ihr mich auf die richtige Richtung geführt habt ich habe mir schon extrem den Kopf zerbrochen.

01.07.2014, 18:08

Bill 99

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Sieht es denn so aus ?
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{\frac{1}{1-n} } \end{eqnarray*}$ wegen der Geometrischen Reihe

also dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{\frac{1}{1-n} } \end{eqnarray*}$

der Lim n-> unendlich ist dann 1 ??

01.07.2014, 18:14

Leopold

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Für die innere Summe gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^k = -1 - \frac{1}{n} + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^k = -1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{n}{n-1} - \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

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01.07.2014, 18:48

Bill 99

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Ich verstehe aber nicht, wie du auf -1 -1/n kommst ?

01.07.2014, 18:50

Bill 99

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Sorry Passt schon die Index verschiebung

01.07.2014, 18:50

Leopold

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Auch kleine Buchstaben können in Mathematik wichtig sein:

k=2, k=0

01.07.2014, 19:32

Bill 99

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smile

klein aber fein

Aber jetzt muss ich doch nochmal fragen. Nach der Index verschiebung muss doch
$\begin{eqnarray*} <br /> (\frac{1}{n})^{n+2} \end{eqnarray*}$ rauskomme. Auch wenn man es auseinander zieht kommt (1/n)^2

Wie kommst du denn auf deine Werte ?

Mfg

01.07.2014, 19:35

Leopold

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Da wird kein Index verschoben. Sondern es werden zwei neue aufgenommen und gleich wieder hinausgeschmissen. So nach der Art

$\begin{eqnarray*} x = x + 4711 + 333 - 4711 - 333 \end{eqnarray*}$

01.07.2014, 19:45

Bill 99

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Wow jetzt wird es ja immer heftiger. Also das verstehe ich jetzt garnicht mehr sorry.
was genau machst du denn da weg ?

01.07.2014, 19:48

Bill 99

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Oder ist es dann (1/n)^0 +(1/n)^1 die du dann sozusagen einfach abziehst ?

01.07.2014, 19:51

Leopold

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Du solltest mit mathematischen Symbolen nicht nur formal umgehen, sondern sie inhaltlich erfassen. Das Summenzeichen ist ein Abkürzungszeichen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^4} + \ldots = \color{red} -1 - \frac{1}{n} \color{blue} + \color{black} \underbrace{ \color{blue} 1 + \frac{1}{n} \color{black} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^4} + \ldots}_{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^k}} \end{eqnarray*}$

01.07.2014, 20:27

Bill 99

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Im Nachhinein super Genial ....

01.07.2014, 21:31

Gast11022013

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Im Umgang mit der geometrischen Reihe eigentlich Standard.
Oft gehört eine solche "Verschiebung" dazu bevor man sie überhaupt anwenden darf.
Der Trick Nullen zu addieren, wie Leopold es ja auch farblich markiert hat, ist keine Seltenheit.

01.07.2014, 21:35

10001000Nick1

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Ich mache es meist über eine Indexverschiebung (das hat auch Bill oben schon angedeutet): $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{n^k}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{n^{k+2}}=\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

02.07.2014, 17:52

Bill 99

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Ja genau wie Nick hätte ich das dann auch gemacht.

02.07.2014, 18:46

Gurki

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Ist dir denn auch klar wie's dann weitergeht?

Leopold's Darstellung der 'inneren' Reihe (gestern 18:14h) ist nämlich nicht zufällig gewählt, wie ich annehme...

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