Doppelpost! Gleichung nach einer Variablen auflösen

01.07.2014, 14:16

LAMHOU

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Gleichung nach einer Variablen auflösen

Meine Frage:
Ich will folgende Gleichung nach v auflösen:

4Gm/(c^2) * mv/(wurzel(1-(v^2/c^2))) = h/2

(Die Unschärferelation, mit dem Durchmesser eines Schwarzen Lochs, und dem Impuls eines Teilchens)

Meine Ideen:
4Gm^2v/(c^2*wurzel(1-(v^2/c^2))) = h/2

v = h c^2 wurzel(1-(v^2/c^2))/(8Gm^2)

v = (hc^2/(8Gm^2))^2 * (1 - (v^2/c^2))

01.07.2014, 15:20

Steffen Bühler

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RE: Nach v auflösen
Herzlich willkommen im Matheboard!

Beim letzten Schritt hast Du rechts quadriert, das musst Du dann natürlich auch links tun. Dann kannst Du weiter auflösen.

Und wenn ich Dir unseren Formeleditor ans Herz legen dürfte... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße
Steffen

01.07.2014, 21:48

LAMHOU

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erledigt
Ich hab es nochmal probiert, und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} v^{2} = (\frac{h c^{2}}{8 G m^{2}})^{2} * (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})<br /> <br /> v^{2} = (\frac{h c^{2}}{8 G m^{2}})^{2} - \frac{h^{2} c^{4} v^{2}}{16 G^{2} m^{4} c^{2}}<br /> <br /> v^{2} = \frac{h^{2} c^{4}}{16 G^{2} m^{4}} - \frac{h^{2} c^{4} v^{2}}{16 G^{2} m^{4} c^{2}}<br /> <br /> 1 = \frac{h^{2} c^{4}}{16 G^{2} m^{4} v^{2}} - \frac{h^{2} c^{4}}{16 G^{2} m^{4} c^{2}}<br /> <br /> 1 / (\frac{h^{2} c^{4}}{16 G^{2} m^{4}}) = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{c^{2}}<br /> <br /> \frac{h^{2} c^{4}}{16 G^{2} m^{4}} = v^{2} - c^{2}<br /> <br /> \sqrt{\frac{h^{2} c^{4}}{16 G^{2} m^{4}} - c^{2}} = v \end{eqnarray*}$

Danke für die Aufmerksamkeit.

01.07.2014, 22:53

Dopap

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RE: erledigt

Zitat:

Original von LAMHOU

$\begin{eqnarray*} 1 / (\frac{h^{2} c^{4}}{16 G^{2} m^{4}}) = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{c^{2}}<br /> <br /> \frac{h^{2} c^{4}}{16 G^{2} m^{4}} = v^{2} - c^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text {Seit wann ist } \quad \frac {1} { \frac 1a - \frac 1b }=a-b \end{eqnarray*}$ ???

02.07.2014, 06:28

LAMHOU

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Hat wohl offensichtlich nicht gestimmt. Jemand hat mir die Gleichung folgendermaßen aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} \frac{4 G m}{c^{2}} * \frac{m v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{h}{2}<br /> <br /> \sqrt{\frac{v^{2}}{c^{2}} - 1} = \frac{8 G m^{2}}{h}<br /> <br /> v = \sqrt{\frac{c^{2} h^{2}}{64 G^{2} m^{4} + h^{2}}}<br /> <br /> v = \frac{c h}{8 G m^{2} + h}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich hab meine Werte eingegeben und das Ergebnis hat gestimmt.
Ich kann die Herleitung allerdings nicht ganz nachvollziehen. Vor allem nicht wie die zusätzlichen v und c verschwinden. Kann mir jemand mal die Zwischenschritte aufschreiben?
Und dieser Trick mit dem Seiten vertauschen unter der Wurzel, der kommt mir bekannt vor .. wie nennt man das?

Danke im Vorraus.

02.07.2014, 06:51

Dopap

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Zitat:

Original von LAMHOU

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{v^{2}}{c^{2}} - 1} = \frac{8 G m^{2}}{h}<br /> \end{eqnarray*}$

Der Radikant ist jetzt stets negativ. Was soll das unglücklich

unglücklich

Und der Schritt von

$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{\frac{c^{2} h^{2}}{64 G^{2} m^{4} + h^{2}}} \end{eqnarray*}$
nach
$\begin{eqnarray*} v = \frac{c h}{8 G m^{2} + h}<br /> \end{eqnarray*}$

lässt doch Zweifel an der Kompetenz des Jemanden aufkommen.

$\begin{eqnarray*} \text{seit wann ist} \quad \sqrt {a^2+b^2}=a+b \end{eqnarray*}$ ?????????

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02.07.2014, 07:18

LAMHOU

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Lösung
Ja, stimmt .. einfach so die Seiten vertauschen macht keinen Sinn ... kann mir denn nun jemand die Lösung verraten?
(es ist übrigens keine Hausaufgabe oder dergleichen)

02.07.2014, 07:32

Dopap

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ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} v=\frac {hc^2}{\sqrt{64G^2m^2+h^2c^2}} \end{eqnarray*}$ smile

smile

02.07.2014, 08:32

LAMHOU

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Herleitung
Wenn deine Lösung stimmt ist das Ergebnis relativ enttäuschend.
Ein Elektronen würden demnach selbst auf den engen Raum des Ereignishorizontes eines anderen Elektrons eingepfercht (nur winzige 1*10^-57 m klein), lediglich eine Geschwindigkeit von 15% der Lichtgeschwindigkeit aufweisen. Wo bleibt da der klaustrophobische Druck?
Wie wäre es mit einer Herleitung deiner Lösung?

02.07.2014, 08:59

Dopap

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nur soviel:

Quadrieren, mit c^2 multiplizieren , kürzen, Brüche auflösen , v^2 ausklammern...

Ich kenne die Gleichung nicht, aber bei den Kollegen vom www.Physikerboard.de

kannst du sicher besser Diskutieren.

02.07.2014, 09:41

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Dopap
ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} v=\frac {hc^2}{\sqrt{64G^2m^2+h^2c^2}} \end{eqnarray*}$ smile

smile

Ich danke für Dein Einspringen. Ich hab's jetzt nicht selber nachgeprüft, aber mein CAS-Programm berechnet

$\begin{eqnarray*} v=\pm \frac {hc^2}{\sqrt{64G^2m^{ \color{red} 4 \color{black} }+h^2c^2}} \end{eqnarray*}$

Vielleicht liegt die Klaustrophobie daran... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße
Steffen

02.07.2014, 10:05

LAMHOU

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Kommastellen
m^4 ... ok, hier gestaltet sich die Berechnung aber etwas schwierig, weil m = 9.10938291*10^-31 ist .. wenn ich das hoch 4 nehme, dann bin ich bei 124 Stellen hinterm Komma, und die meisten Taschenrechner und auch Onlinerechner hören bei 100 Stellen hinterm Komma auf ...

(G = 6,67384 · 10^-11; c = 299792458; h = 1,054571726 · 10^-34)

Gut, wenn man m^4 als annähernd gleich Null annimmt, dann reduziert sich der untere Teil auf h^2 c^2, und man bekommt wieder die Lichtgeschwindigkeit (299792458).
Die Lösung sollte also stimmen.

02.07.2014, 20:36

Dopap

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

$\begin{eqnarray*} v=\pm \frac {hc^2}{\sqrt{64G^2m^{ \color{red} 4 \color{black} }+h^2c^2}} \end{eqnarray*}$

ja, richtig, ich hatte in der Ausangsgleichung ein "m" übersehen und war zu faul eine Dimensionsprüfung vorzunehmen. geschockt

geschockt

------------------------------------------------

mein TR rechnet mit Zahlen bis zu $\begin{eqnarray*} 1E\pm500 \end{eqnarray*}$ . Trotzdem erhalte ich auch v=c

Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} 64G^2m^4=1.96\cdot 10^{-139} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h^2c^2=9.99\cdot 10^{-52} \end{eqnarray*}$
ist, und da bräuchte man einen TR mit mindestens 150 Stellen.

Ich würde in diesem Fall eine Linearisierung(?) versuchen.

08.07.2014, 11:41

LAMHOU

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Naja, man könnte sich die Mühe machen das auszurechnen, aber das v das dabei rauskommen würde wäre so nahe an c dran, dass die Masse ins unendliche wachsen würde ...

Ich würde das gerne nochmal mit der Planck-Länge versuchen, statt mit dem Horizont. Würdet ihr mir das bitte nochmal nach v auflösen?

$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt{\frac{h G}{c^{3}}} * \frac{m v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{h}{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Vorraus ~~

PS: Mit einer Herleitung kann ich es nächstes mal selber machen.

08.07.2014, 15:41

LAMHOU

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Meine Lösung ist:

$\begin{eqnarray*} <br /> v = \sqrt{\frac{1}{\frac{4 G m^{2}}{c^{3}} + \frac{1}{c^{2}}}}<br /> \end{eqnarray*}$

Nach wie vor v = c. Diesmal aber ohne den Taschenrechner zu überfordern.

08.07.2014, 15:57

mYthos

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Ich habe es fast auch so, allerdings fällt h NICHT weg.

mY+

12.07.2014, 09:10

LAMHOU

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Hallo nochmal,

Also ich weiss jetzt was zu tun ist. Da die Unbestimmtheit des Impulses maximal ist, haben wir eine Überlagerung aller möglichen Impulse mit Geschwindigkeiten von 0 bis c.
Wir haben also eine Summe:

Summe (n gegen c) = m c / (Wurzel (1 - (c-n)^2 / c^2)))

Oben steht c statt c^2 weil ich die ganze Summe durch c geteilt hab, also die Anzahl der Terme. Der Term n = c wäre dann Null. Da die Grundmenge N* ist, also N ohne Null, haben wir genau c Terme. Da wir am Ende eh eine Masse brauchen, und durch c^2 teilen müssen, können wir das auch jetzt gleich machen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{c}^n m = \frac{m}{\sqrt{ 1 - \frac{(c-n)^{2}}{c^{2}}} * c } \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt eine Summe von 1 bis 299792458. Das von Hand auszurechnen wäre mühsam .. c Terme.
Wie kann man hier die Summe bilden?

Vielen Dank im vorraus.

14.07.2014, 22:00

sulo

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LAMHOU hat für die gleiche Frage einen neuen Thread eröffnet: Summe von 1 bis 299792458

Hier wird geschlossen, da im anderen Thread schon geholfen wird.

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