Eigenwerte berechnen

02.07.2014, 14:19

Rebreg

Eigenwerte berechnen

Ich habe ein Problem mit der Berechnung der Eigenwerte.
Für die Eigenwerte gausse ich zuerst die Matrix $\begin{eqnarray*} A-\lambda I_{n} \end{eqnarray*}$ und berechne dann die Lambdas über Nullsetzten des Produktes der Diagonalelemente (Determinante=0).
Allerdings bekomme ich da ziemlich konstant falsche Resultate. Anfangs dachte ich ich verrechne mich einfach, frage mich nun aber ob ich grundlegend was nicht verstanden hab.
Ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 5 \end{pmatrix} <br /> A-\lambda I=\begin{pmatrix} 4-\lambda & 0 & 0 \\ 2 & 1-\lambda & 1 \\ 2 & -3 & 5-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Gegausst:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & \frac{3}{1-\lambda}+5-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Determinante Nullsetzten:
$\begin{eqnarray*} (4-\lambda )(1-\lambda )(\frac{3}{1-\lambda } +5-\lambda )=0 \end{eqnarray*}$
Also hab ich Eigenwerte:
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1} =4 (doppelt)<br /> \lambda _{2} =1<br /> \lambda _{3} =2 \end{eqnarray*}$
die Lösung hat aber:
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1} =4 (doppelt)<br /> \lambda _{3} =2 \end{eqnarray*}$
Also kein $\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$
Was mache ich falsch??
Merci viel mal für die Hilfe!

02.07.2014, 14:50

klarsoweit

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RE: Eigenwerte berechnen
Dadurch, daß du einen Term mit 1-lambda im Nenner produzierst, hast du implizit die Bedingung "lambda ungleich 1" akzeptiert. Desweiteren kannst du nur dann Nullen in der 1. Spalte produzieren, wenn lambda ungleich 4 ist. Insgesamt erscheint mir dein Verfahren eher ungeeignet.

02.07.2014, 15:01

Rebreg

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Danke für die Erklärung weshalb lambda nicht gleich 1 sein kann. Daran hab ich nicht gedacht. Dann ist alles klar.

Aber was findest du an meinem Vorgehen denn ungünstig? verwirrt

02.07.2014, 15:07

klarsoweit

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Gegenfrage: wie hast du die beiden Nullen in der 1. Spalte Zeilen 2 und 3 produziert?

02.07.2014, 15:20

Rebreg

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Mit Gauss

02.07.2014, 15:32

klarsoweit

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Nun ja, das war mir schon klar. Aber beschreibe mal den durchgeführten Schritt im Detail.

02.07.2014, 15:38

Rebreg

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Im ersten Schritt 1. Zeile mal $\begin{eqnarray*} \frac{2}{4-\lambda } \end{eqnarray*}$ , Addition erste Zeile zur zweiten, Addition erste Zeile zur dritten
Im 2. Schritt 2. Zeile mal $\begin{eqnarray*} \frac{3}{1-\lambda } \end{eqnarray*}$ , Addition zur Dritten Zeile.
Gibt das Endschema.

02.07.2014, 15:46

klarsoweit

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Und da ist eben - wie schon gesagt - das Problem. Die Umformungen funktionieren nur unter der Bedingung lambda ungleich 4 bzw. lambda ungleich 1. Was machst du denn im Fall lambda = 4?

02.07.2014, 15:53

Rebreg

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Ich habe im Endschema und somit in der Determinante ja kein $\begin{eqnarray*} \lambda -4 \end{eqnarray*}$ mehr, sondern nur noch ein $\begin{eqnarray*} \lambda -1 \end{eqnarray*}$ . 1 ist kein Eigenwert der Matrix, 4 aber schon.
Die Gleichung für die Determinante=0 lautet ja $\begin{eqnarray*} (4-\lambda )(1-\lambda )(\frac{3}{1-\lambda } +5-\lambda )=0 \end{eqnarray*}$
Nur weil ich beim Umformen der Matrix mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{4-\lambda } \end{eqnarray*}$ multipliziert habe heisst das nicht, dass 4 deshalb als Lösung für Det=0 ausgeschlossen ist!?!

Mich würde vor allem aber interessieren welchen alternativen Lösungsweg du mir denn vorschlägst. Ich und all meine Kumpels und Kumpelinnen machen das seit je her so…

Merci! smile

02.07.2014, 15:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rebreg
Nur weil ich beim Umformen der Matrix mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{4-\lambda } \end{eqnarray*}$ multipliziert habe heisst das nicht, dass 4 deshalb als Lösung für Det=0 ausgeschlossen ist!?!

Nun ja, es heißt erstmal, daß du eine unzulässige Umformung machst. Welche Konsequenzen sich daraus ergeben, kann ich nicht überblicken.

Zitat:

Original von Rebreg
Mich würde vor allem aber interessieren welchen alternativen Lösungsweg du mir denn vorschlägst. Ich und all meine Kumpels und Kumpelinnen machen das seit je her so…

Einfach eben die Determinate aus der Matrix berechnen, so wie sie ist. Allenfalls vorher noch erlaubte Umformungen machen, um vielleicht da oder dort noch ein paar Nullen zu produzieren.

02.07.2014, 16:02

Rebreg

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