Lineare Unabhängigkeit mit Gauss

02.07.2014, 15:46	Rebreg	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit mit Gauss Der Vektorraum der Polynome vom grad kleiner gleich 3 ist gegeben. sowie die Polynome: $\begin{eqnarray} p_{1}(x)=x^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_{2}(x)=x^2+x^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_{3}(x)=x^{3}-x^2+2 \end{eqnarray}$ Gesucht ist die Überprüfung auf lineare Unabhängigkeit Meine Idee: Ich schreibe die Polynome nun bzgl der Basis (1,x,x^2,x^3) in Vektorform und dann nebeneinander in eine Matrix. Dann Gaussen und schauen ob eindeutige Lösung oder nicht (Rang) gibt also die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie man ja schon vorher direkt sieht, da kein x^1 vorhanden ist, existiert eine Nullzeile, also linear abhängig. Da ich jedoch in der Aufgabe zeigen soll, dass sie linear unabhängig sind ist da wohl was krumm an meinen Gedanken Wo und was? Merci für die Hilfe!
02.07.2014, 15:48	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit mit Gauss Du mußt die Koeffizienten zeilenweise und nicht spaltenweise in die Matrix schreiben.
02.07.2014, 15:54	Rebreg	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha
02.07.2014, 16:02	Rebreg	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber so bekomme ich ja einen freien Parameter?! (Dann sind sie doch auch lin. abhängig?!)
02.07.2014, 17:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier nicht um die Lösung einen Gleichungssystems, jedenfalls nicht bei dem Weg, wie ich ihn praktiziere. Vektoren sind linear unabhängig, wenn in der Matrix, die zeilenweise aus diesen Vektoren besteht, bei Umformung auf Zeilenstufenform keine Nullzeile entsteht.
02.07.2014, 17:18	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die drei Polynnome linear unabhängig sind, muss der Rang deiner Matrix 3 sein, egal wieviel 0-Zeilen oder -Spalten drin sind. Es ist auch egal, ob du in Zeilen- oder Spaltenform die Koeffizienten schreibst. dies ändert nichts am Rang. Du kannst auch die 0-Zeilen bzw. 0-Spalten weglassen. Ändert auch nichts am Rang. Es ist $\begin{align} \operatorname{Rang}A=\operatorname{Rang}A^T \end{align}$ $\begin{eqnarray} \operatorname{Rang}\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\operatorname{Rang}\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\operatorname{Rang}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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02.07.2014, 19:21	Rebreg	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu, endlich ist es klar! Merci!

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