k-Monomorphismus

02.07.2014, 17:08

Liquitt

k-Monomorphismus

Hallo alle zusammen.

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

"Sei $\begin{eqnarray*} K\backslash k \end{eqnarray*}$ algebraische Körpererweiterung. Zeigen Sie, dass jeder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Monomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi: K \to K \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Aut(K;k) \end{eqnarray*}$ liegt."

Hinweis: Verwenden Sie die Idee "Permutationen von Nullstellen eine irreduziblen Polynoms" für die Bilder $\begin{eqnarray*} \varphi^n (\alpha) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \in K \end{eqnarray*}$ .

Nun ist mein Problem:
Ich habe ansonsten immer eine primitive Körpererweiterung gehabt. Da musste ich nur das Minimalpolynom des primitiven Elements betrachten und alle Möglichkeiten Nullstellen auf Nullstellen abzubilden durchgehen, schon hatte ich alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Monomorphismen.

Mir ist allerdings unklar, wie das nun hier funktionieren soll.

Wenn ich mir ein irreduzibles Polynom aus $\begin{eqnarray*} k[t] \end{eqnarray*}$ nehme, so müsste ich doch irgendwie zeigen, dass alle Nullstellen dieses Polynoms in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegen. Dann wäre ich doch fertig, oder nicht?

Kann mir jemand helfen?

MfG

03.07.2014, 07:20

tmo

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Zu zeigen ist ja nur noch die Surjektivität.

Das ist in dem Fall nichttrivial, weil $\begin{eqnarray*} K/k \end{eqnarray*}$ ja nicht endlich ist.

Aber man kann sich folgendermaßen behelfen.

Nimm dir ein bel. $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1, \dotsc, a_n \end{eqnarray*}$ seinen alle weiteren Nullstellen des Minimalpolynoms über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , die auch in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegen (das sind ja i.A. nicht alle, da die Erweiterung nicht normal sein muss).

Betrachte nun die die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M := k(a_1, \dotsc, a_n) \end{eqnarray*}$ . Begründe warum dies ein wohldefiniertes Element von $\begin{eqnarray*} Hom_k(M,M) \end{eqnarray*}$ ist. Dort ist aber $\begin{eqnarray*} Hom_k(M,M)=Aut(M/k) \end{eqnarray*}$ klar, weil die Erweiterung endlich ist. Insbesondere liegt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ also im Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$

03.07.2014, 09:31

Liquitt

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Danke für Deine Antwort!

Zitat:

Begründe warum dies ein wohldefiniertes Element von $\begin{eqnarray*} Hom_k(M,M) \end{eqnarray*}$ ist.

Es ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Körper. Da $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \in K \end{eqnarray*}$ , ist zudem $\begin{eqnarray*} M \subseteq K \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Monomorphismus von K nach K ist, ist es somit sicher ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Homomorphismus von M nach M (ist doch sogar ein k-Monomorphismus von M nach M?).

Ich habe allerdings noch zwei Fragen:

1)
Wieso gilt für endliche Erweiterungen immer $\begin{eqnarray*} Hom_k(M,M)=Aut(M/k) \end{eqnarray*}$ ?

2)

Zitat:

Insbesondere liegt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ also im Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$

Dafür müsste doch $\begin{eqnarray*} a \in M \end{eqnarray*}$ liegen, aber wieso gilt das? Es sind doch $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ alle Nullstellen des Minimalpolyoms welche in K liegen, außer $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Sprich wird adjungieren $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ doch garnicht hinzu, woher wissen wir, dass es trotzdem in M liegt?

MfG

03.07.2014, 10:07

tmo

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Zur ersten Sache: Achtung! Erstmal ist nur klar, dass die Einschränkung ein k-Monomorphismus von M nach K ist. Zu zeigen ist, dass das Bild tatsächlich wieder in M liegt.

Dann zu 1): Das ist lineare Algebra: Ein injektiver Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums...

Dann zu 2): Ok, ich habe es nicht dazu geschrieben. Aber es soll natürlich $\begin{eqnarray*} a = a_1 \end{eqnarray*}$ sein.

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