Polynomringe

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Krümel_Monster Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomringe
Meine Frage:
Hallo allerseits,

meine Aufgabe(n):

Seien Ringe (kommutativ & mit 1) und .
a) Zeige, dass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist. WIr bezeichnen dessen Bild mit R[x].


b) Wir nehmen an, dass es ein Polynom mit g(x)=0. Zeige, dass dann gilt.

Meine Ideen:
Also ... die a) habe ich schon selbst gelöst, einfaches nachprüfen der Definition, ein kleines bisschen rechnen, mehr nicht.
Bei der b) hab ich bis jetzt so meine Probleme ... ich verstehe irgendwie glaube ich den Kern der Behauptung noch nicht so ganz. Man hat also ein Polynom vom Grad m, das normiert ist (ist das wichtig?). Mit R[x] bezeichnen wir alle "Ergebnise" von Polynomfunktionen R->S, also deren Funktionswerte. Dann kann man die Elemente von R[x] schreiben als Werte einer Polynomfunktion, die den Grad m-1 hat. Ist es jetzt noch wichtig, dass das ganze von einem Unterring in einen "darüberliegenden" Ring läuft?
Hab ich das soweit richtig "interpretiert" oder ist da noch was drin, was ich vergessen habe?
Von der Herangehensweise her: Mengengleichheit, also bietet es sich an, beide Inklusionen zu zeigen. Damit werde ich dann vermutlich richtig anfangen können, wenn mir jemand sagt, ob ich das soweit richtig verstanden habe.

Vielen Dank schonmal für die Hilfe,
Krümelmonster
Krümel_Monster Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Es fehlt natürlich erstmal noch, dass g(x) mit der Nullpolynomfunktion übereinstimmt, hatte ich vergessen im Anfangspost. Habe ich damit alles "herausgefiltert"?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles nicht sooo kompliziert.
Mit a) ist der Einsetzungshomomorphismus gemeint, d.h. man setzt ein spezielles in das Polynom ein.
Bei b) musst du nur durch vollständige Induktion zeigen, dass alle in der rechten Menge enthalten sind. Der Induktionsanfang steckt in der Annahme des (normierten !) Polynoms g, das x als Nullstelle hat (g ist nicht das Nullpolynom und nicht die Nullfunktion), der Induktionsschluss ist fast trivial ( ). Dass die rechte in der linken Menge enthalten ist, ist trivial.

Anmerkung. Für einen Ringhomomorphismus geht das so ähnlich. Offenbar sieht dann etwas anders aus (wie genau, darfst du dir überlegen).
Krümel-Monster Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh... Danke sehr smile
Jetzt macht das ganze mehr Sinn, ich hatte einfach verpennt, dass x ja fest gewählt ist. Dann macht für mich jetzt auch die erste Teilaufgabe irgendwie Sinn und die Bezeichnung R[x] ist anschaulich klar - ich war vorher davon ausgegangen dass x beliebig in S ist, der Morphismus kann aber ja nur für ein x auf einmal auch wirklich Sinn geben. Und g ist dann selbstverständlich nicht das die Nullfunktion.

Danke, ich werde mich dann mal an die Induktion machen und melde mich wieder bei Fragen/Problemen smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau so ist es. ist beliebig, aber fest. Wäre beliebig, dann spräche man vom Polynomring , für den macht aber die Aufgabe keinen Sinn.
Krümel_Monster Auf diesen Beitrag antworten »

Du schreibst der Induktionsschluss ist fast trivial ... ich bin aber anscheinend einfach nur zu doof Augenzwinkern
Also: Wir wollen zeigen, dass für alle n größergleich m.

Induktionsanfang: n=m.
Es ist g(x)=0 und somit .
Induktionsvoraussetzung:
Es gelte die Behauptung für ein n>m.
Induktionsschritt: n -> n+1:
Wie du schon sagtest ist natürlich Nun gut, jetzt weiß ich, dass in M ist, x selber natürlich ebenso ... aber wir wissen ja noch nicht, dass M ein Ring o.ä. ist, also das Produkt auch in M liegt, oder?
Tut mir Leid, wenn ich hier auf dem Schlauch stehe ...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es ganz einfach zu sehen wäre, hätte ich den Induktionsschluß "trivial" genannt. Weil du noch ein bißchen rechnen musst, nenne ich ihn "fast trivial".
Nach Induktionsvoraussetzung ist , berechne , dann wird dir alles klar (nicht vergessen: S ist kommutativ).
Krümel_Monster Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut, wenn ich das alles ausmultipliziere erhalte ich ja höchstens Potenzen mit Grad m ... und dies lässt sich ja wieder mit Hilfe von g(x)=0 (Induktionsanfang) schreiben als ein Element wie wir es wollen.
Ich hoffe, das passt so smile Da hast du Recht, das ist eigentlich mehr trivial als fast trivial ... manchmal steht man einfach auf dem Schlauch.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist richtig. Noch besser wäre, wenn du die Berechnung tatsächlich ausführst, dann ist das ein Beweis. smile
Krümel-Monster Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, klar, ausrechnen muss man es dann am besten schon noch Augenzwinkern Aufgrund meiner Latex-Faulheit erspar ich mir das jetzt, das nochmal abzuschreiben.

Danke für deine Hilfe!
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