Irreduzible Polynome vom Grad 2 über Z2 und Z3

03.07.2014, 20:06

MartinL

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Irreduzible Polynome vom Grad 2 über Z2 und Z3

Moin,

ich hoffe, dass ich an folgender Aufgabe mal ein paar Begrifflichkeiten klären kann. Zuerst präsentiere ich euch die Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

(1) Bestimme die normierten irreduziblen Polynome vom Grad 2 über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p \in \{2,3\} \end{eqnarray*}$
(2) Untersuche, ob das Polynom $\begin{eqnarray*} f := x^5-5x^4-6x-1 \in \mathbb{Q}_{[x]} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist.

Dann dazu unsere Definition von Irreduzibel:
Sei R ein Integritätsbereich und $\begin{eqnarray*} 0 \neq q \in R \backslash R^* \end{eqnarray*}$
q heißt irreduzibel, falls q = ab mit a,b aus R nur für a oder b aus der Einheitengruppe von R möglich ist.

Und unsere Definition der Einheitengruppe:
Sei R ein Ring mit 1. Ein Element a aus R heißt Einheit in R, falls b,c aus R existieren mit ba = 1 = ac.
$\begin{eqnarray*} R^* := \{a\in R | a \ \ \text{ist Einheit}\} \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Meine Überlegungen dazu. Zuerst einmal habe ich mir Gedanken über die normierten Polynome gemacht. Z2 enthält ja nur zwei Elemente und Z3 nur drei Elemente. Damit existieren doch insgesamt nur folgende unterschiedlichen Polynome oder?

Z2:
$\begin{eqnarray*} x^2+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

Z3:
$\begin{eqnarray*} x^2+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+2x+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+2x+2 \end{eqnarray*}$

Dann muss ich doch jetzt gucken, welche davon Einheiten sind und welche ich dann in diese Einheiten zerlegen kann. Nach der Definition sieht es für mich so aus, als würde es zur irreduzibilität reichen, wenn ich das Polynom in eine Einheit und ein anderes Element zerlegen könnte. Stimmt das so? Ich habe irgendwie das Gefühl, dass ich da noch einiges durcheinanderwerfe. Ansonsten würde ich nämlich sagen, dass davon gar nichts eine Einheit ist und somit alle irreduzibel wären. Bitte klärt mich auf.

Gruß
Martin

03.07.2014, 20:25

Mulder

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RE: Irreduzible Polynome vom Grad 2 über Z2 und Z3
Die Polynome sind keine Einheiten. Irreduzibel bedeutet doch, dass es eben nur Zerlegungen gibt, in der mindestens einer der Faktoren, in die das Polynom zerfällt, schon eine Einheit ist.

Bei einem Polynom von Grad 2 ist die Irreduzibilität äquivalent damit, dass es keine Nullstelle hat. Denn wenn so ein Polynom vom Grad 2 zerfällt, zerfällt es in zwei Linearfaktoren und ein Linearfaktor $\begin{eqnarray*} (x-a) \end{eqnarray*}$ hat natürlich immer eine Nullstelle, nämlich $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ .

Beispielhaft mal über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f=x^2+2 \end{eqnarray*}$

Offenbar hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (das kann man durch Einsetzen leicht nachrechnen) z.B. die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f(1)=3 \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ließe sich also ohne Rest durch $\begin{eqnarray*} (x-1) = (x+2) \end{eqnarray*}$ dividieren. Und in der Tat gilt über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x^2+2 = (x+2)(x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat auch noch die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ , wie man sieht. Aber schon eine Nullstelle reicht uns ja, um die Reduzibilität nachzuweisen.

Die anderen Polynome gehst du nach dem gleichen Schema durch. Ist eigentlich ganz simpel.

03.07.2014, 20:39

MartinL

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Um streng bei den Definitionen zu bleiben (ohne Nullstellen) müsste ich also jeweils eine Zerlegung finden, so dass die Teiler keine Einheiten sind. Wenn ich das geschafft habe, ist das Polynom reduzibel und ich kanns aus der Liste streichen. Wenn ich so eine Zerlegung tatsächlich mal nicht finde, muss ich zeigen, dass es sie auch nicht gibt.

Dann überlege ich am besten erst mal, was die ganzen Einheiten sind.

Z2:

1, da 1*1 = 1
Polynome, in denen ein x vorkommt sind dann automatisch keine Einheiten oder? Beim multiplizieren mit 1 ändert sich nichts, beim multiplizieren mit x erhöht sich nur der Grad der Polynome aber 1 kommt nicht dabei heraus.

Z3:

1, da 1*1 = 1
2, da $\begin{eqnarray*} 2*2 = 4 \equiv 1 \end{eqnarray*}$
Polynome vom Grad höher als 0 fallen wieder raus oder? Ich wüsste nicht, wie ich das x wieder weg bekommen sollte.

Dann fange ich jetzt mal an, meine Polynome zu zerlegen. Den Nullstellentrick kann ich ja durchaus verwenden, ich muss es ja nachher nur vernünftig aufschreiben.

Danke schon mal für deine Hilfe. Die Begriffe machen mir oft noch Probleme. Ich sehe zwar die Definitionen aber so wirklich mit Leben füllen sich die Begriffe ja erst in der Anwendung.

Gruß
Martin

03.07.2014, 21:01

Mulder

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Zitat:

Original von MartinL
Um streng bei den Definitionen zu bleiben (ohne Nullstellen) müsste ich also jeweils eine Zerlegung finden, so dass die Teiler keine Einheiten sind. Wenn ich das geschafft habe, ist das Polynom reduzibel und ich kanns aus der Liste streichen. Wenn ich so eine Zerlegung tatsächlich mal nicht finde, muss ich zeigen, dass es sie auch nicht gibt.

Jo.

Zitat:

Original von MartinL
Polynome, in denen ein x vorkommt sind dann automatisch keine Einheiten oder? Beim multiplizieren mit 1 ändert sich nichts, beim multiplizieren mit x erhöht sich nur der Grad der Polynome aber 1 kommt nicht dabei heraus.

Ja, bei Polynomringen, bei denen die Koeffizienten aus einem Körper stammen (was bei uns ja der Fall ist), ist es allgemein so, dass die Einheiten in diesem Polynomring genau die konstanten Polynome sind, ausgenommen natürlich dem Nullpolynom. Sprich die Einheiten sind einfach die von null verschiedenen Elemente des Körpers. Mehr gibt's dann nicht.

03.07.2014, 22:11

MartinL

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Ok, hab dann raus:

Z2 :
$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

Z3:
$\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+2x+2 \end{eqnarray*}$

Jetzt zum Teil 2. Da muss ich ja überprüfen, ob es rationale Nullstellen gibt. Also Nullstellen hat es auf jeden Fall. Das sieht man schon daran, dass f(10) = 49939 und f(0) = -1 ist. Die Frage ist jetzt, wie man herausbekommt, ob die Nullstellen reell oder rational sind. Da weiß ich aktuell nicht weiter. Ich könnte mal Annehmen, dass eine rationale Nullstelle existiert und versuchen, ob ich damit weiterkomme.

Gruß
Martin

03.07.2014, 22:34

MartinL

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Ah ich glaub ich hab da nen passenden Satz. Gab da mal was über rationale Nullstellen. Der Zähler muss doch hinten den letzten Koeffizient teilen und der Nenner den Leitkoefizient. In meinem Fall ist es also sogar ne ganze Zahl. Das kann ich zwar spontan im allgemeinen nicht beweisen aber zur Not schreib ich alle möglichen formen von allgemeinen nullstellen auf, multipliziere aus und sehe dann die Behauptung Augenzwinkern

Augenzwinkern

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03.07.2014, 22:45

Mulder

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Naja, so einfach wird es dir hier nicht gemacht. Rationale Nullstellen hat das Ding nicht. Bei dieser Aufgabe wirst du dir wohl was anderes überlegen müssen.

03.07.2014, 22:46

MartinL

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Ja aber wenn es keine rationalen Nullstellen hat, zerfällt es doch über Q nicht und ist demnach irreduzibel oder nicht?

03.07.2014, 23:22

Mulder

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Nein. Die Argumentation mit den Nullstellen greift nur bis höchstens Grad 3. Weil dann immer ein Linearfaktor dabei sein muss und der immer eine Nullstelle hat. Ein Polynom von Grad 5 kann aber z.B. wohl in das Produkt eines Polynoms vom Grad 3 und eines vom Grad 2 zerfallen.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f=x^4+2x^2+1 \end{eqnarray*}$ zerfällt über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f = (x^2+1)(x^2+1)=(x^2+1)^2 \end{eqnarray*}$ , ist also reduzibel, hat aber keinerlei (reelle) Nullstellen.

Wenn ein Polynom eine Nullstelle hat, ist es reduzibel. Aber nur weil ein Polynom keine Nullstellen hat, muss es noch lange nicht irreduzibel sein. Letzteres ist nur bei Polynomen vom Grad kleinergleich 3 der Fall.

03.07.2014, 23:31

MartinL

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Mhh stimmt, das ist nun blöd. Gibt es da einen anderen Weg den man gewöhnlich geht? Ansonsten würde ich weiter versuchen mit der Struktur des Polynoms zu arbeiten. Kann man irgendwie zeigen, dass bei meinem speziellen Polynom ein linearfaktor vorkommen müsste? Ansonsten bin ich ratlos.

03.07.2014, 23:36

MartinL

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Ah, wir hatten das Eisenstein Kriterium. Dann gehe ich davon aus, dass ich das nutzen muss. Ist halt kein digitales Skript, man muss in der Mitschrift blättern und da übersieht man sowas leider schon mal schnell. Ich hoffe, dass ich dann jetzt klar komme smile

smile

04.07.2014, 10:45

MartinL

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Nein, leider komme ich nicht weiter. Das Einsteinkriterium zieht nicht, da ich dafür ja eine Primzahl finden müsste, die folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} p | a_n , \ \ 0 \leq i \leq n-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p \nmid a_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p^2 \nmid a_0 \end{eqnarray*}$

So ein p finde ich aber nicht für mein Polynom $\begin{eqnarray*} x^5-5x^4-6x-1 \end{eqnarray*}$ Dafür müsste ja die Primzahl schon 5 sein und 5 teilt 6 nicht.

Damit kann ich also nicht zeigen, dass das Polynom irreduzibel ist und die Umkehrung gilt so wie ich das verstanden habe nicht. Also ein Polynom kann durchaus irreduzibel sein, auch wenn das Eisensteinkrieterium das nicht enthüllt.

Im Skript blätter ich eine Seite weiter und komme damit zum Rduktionskriterium. Dafür brauche ich jetzt ein Primideal A von Q, damit ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}' := \mathbb{Q}\backslash A \end{eqnarray*}$ betrachten kann. Ich habe aber ein Problem mit den Idealen. Ein Ideal ist ja ein Unterring I von Q für den gilt:

1. (I, +) ist eine Untergruppe von (Q, +)
2. Für alle r aus Q und alle i aus I gilt: r*i ist in I

Daraus schließe ich, dass 1 und 0 schon mal in jedem Ideal I liegen müssen. Damit ist aber doch Q schon selbst ein Ideal. Außerdem gibt es natürlich noch das 0 Ideal. Was ist davon jetzt ein Primideal? Gibt es überhaupt Primideale? Falls nicht, kann ich dann das Reduktionskriterium auch vergessen? Wie zeige ich von meinem blöden Polynom, dass es irreduzibel ist (oder eben, dass es das nicht ist). Ich glaube ich verwende jetzt erst mal 10 minuten darauf, eventuell einfach eine Zerlegung zu finden.

Gruß
Martin

04.07.2014, 14:38

Mulder

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Mal so ein Gedanke: Da das ja nun Aufgabenteil b) ist, kann es ja durchaus sein, dass man die Erkenntnisse aus Aufgabenteil a) hier gebrauchen kann.

Warum also nicht einfach mal modulo 2 oder modulo 3 reduzieren?

Denn: Wenn wir mal annehmen, dass auch das reduzierte Polynom keine Nullstellen in dem betrachteten Integritätsring hat, kann in einer etwaigen Zerlegung schon mal kein Linearfaktor mehr vorkommen. Es kommt dann also nur noch eine mögliche Zerlegung in Frage: Eine Zerlegung in ein irreduzibles Polynom vom Grad 3 und ein irreduzibles Polynom vom Grad 2. Letztere haben wir aber in Aufgabenteil a) alle schon bestimmt.

Heißt: Wenn wir jetzt z.B. mal modulo 2 reduzieren, erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \tilde f = x^5+x^4+x1 \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ nicht ohne Rest durch $\begin{eqnarray*} g=x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ teilbar ist (bei der Polynomdivision muss man natürlich modulo 2 rechnen!), sind wir fertig. Dann ist das reduzierte Polynom $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ irreduzibel und damit auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ irreduzibel. Falls $\begin{eqnarray*} \tilde f \end{eqnarray*}$ doch durch $\begin{eqnarray*} g=x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ teilbar ist, naja. Dann Pech gehabt.

Aber das gleiche Schema können wir ja auch noch modulo 3 durchprobieren mit den dortigen drei gefundenen irreduziblen Polynomen vom Grad 2.

Ich hab das jetzt selber nicht durchgerechnet (bin zu faul), aber es ist ja naheliegend, dass der Aufgabensteller im Kopf hatte, dass man a) für b) benutzen soll. Kannst es ja mal probieren.

Es sei denn, dir fällt grad was schnelleres ein. Aber Eisensteinkriterium funktioniert hier nicht, das ist richtig.

04.07.2014, 14:53

MartinL

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Die Frage ist, warum man hier einfach Modulo 2 oder Modulo 3 reduzieren darf. Du wendest ja das Reduktionskriterium an. Dafür muss aber zum Beispiel 3 ein Primideal in Q sein. Ist das so?

--------------------

Hier mal das Reduktionskriterium wie wir es im Skript haben:

Sei R ein ZPE-Ring und $\begin{eqnarray*} f = \sum\limits_{i=0}^n a_ix^i \in R_{[x]} \end{eqnarray*}$ primitiv mit grad(f) = n größer oder gleich 1. Ferner sei A ein Primideal in R mit $\begin{eqnarray*} a_n \notin A \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} \overline{R} := R / A \end{eqnarray*}$ ; zudem sei $\begin{eqnarray*} \phi : R_{[x]} \rightarrow \overline{R}_{[x]} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi(g) \rightarrow \overline{g} \end{eqnarray*}$ der Ringepimorphismus wie in Beweis 4.25.

Dann gilt: ist $\begin{eqnarray*} \overline{f} = f^\phi \end{eqnarray*}$ irred in $\begin{eqnarray*} \overline{R}_{[x]} \end{eqnarray*}$ , so ist f auch irred in $\begin{eqnarray*} R_{[x]} \end{eqnarray*}$

--------------------

Der Ringepimorphismus scheint ja nur die Reduktion vorzunehmen. Trotzdem muss ich doch erst mal alle Bedingungen des Satzes erfüllen um überhaupt reduzieren zu können. Ich werde schon mal veruschen, ob mir die Zerlegung weiterhilft und kann ja dann immer noch überlegen, wieso ich das überhaupt so reduzieren darf.

Gruß
Martin

04.07.2014, 15:06

Mulder

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Was man natürlich mitbenutzt, ist das Lemma von Gauß, bzw. eine direkte Folgerung aus diesem. Kurz un knackig von Wikipedia:

Zitat:

Wenn ein nicht-konstantes Polynom (in einer Variablen) über einem faktoriellen Ring irreduzibel ist, dann ist es auch über seinem Quotientenkörper irreduzibel.

Wir betrachten unser Polynom also erstmal über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Und betrachten dann das Primideal $\begin{eqnarray*} 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 3 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Wenn wir Irreduzibilität über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nachweisen können, kriegen wir die Irreduzibilität über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ dank diesem Lemma direkt mitgeliefert. Denn $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist ja gerade der Quotientenkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dafür muss aber zum Beispiel 3 ein Primideal in Q sein. Ist das so?

Das ist eine - Verzeihung - eher wenig sinnvolle Frage. Da musst du dich nochmal ein bisschen mit den Begrifflichkeiten auseinandersetzen, das ist noch nicht so richtig verinnerlicht. Eine einzelne Zahl ungleich 0 kann nur schwerlich ein Ideal sein. Und ein Körper besitzt immer nur die beiden trivialen Ideale: Sich selbst und das Nullideal. Mehr geht nicht. Und sowas wie Primelemente gibt es in Körpern auch gar nicht.

04.07.2014, 15:18

MartinL

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Ja das "Ist das so?" war tatsächlich ein wenig doof. Oben hatte ich ja auch schon geschrieben, dass Q als Ideale nur Q und das triviale Ideal besitzt. nach dem Lemma von Gauß werde ich jetzt im Skript erst mal suchen. Wahrscheinlich steht es irgenwdo.

Damit, mich auf die ganzen Zahlen zurückzuziehen, würde das Reduktionskriterium auch überhaupt erst Anwendbar werden. Das war der Gedankengang der mir fehlte. Ich habe versucht, das Reduktionskriterium mit Q als Ring zu benutzen weil ja das Polynom über Q ist. Deshalb habe ich gedacht, dass es irgend etwas wie ein Primideal etc. geben müsse, um die Bedingung zur Reduzierbarkeit zu erfüllen. Mit dem Lemma von Gauß wird klar, wie ich das Reduktionskriterium hier anwenden kann.

Danke auf jeden Fall schon einmal für deine Geduld. Die Aufgaben so durchzugehen hilft, Begriffe voneinander abzugrenzen und sich klar zu machen, was man in welchem Fall wie benutzen kann. Dadurch, dass ich versuche, mich auch tatsächlich exakt an Sätze und Definitionen zu halten, mache ich mir die noch fehlenden Begrifflichkeiten klar oder versuche es zumindest. Deshalb versuche ich auch immer zu Begründen, warum man das was man in der Anwendung einfach so macht, weil man weiß, dass es geht, überhaupt machen darf.

Gruß
Martin

07.07.2014, 19:26

MartinL

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So, um die Argumentation noch mal hier am Stück zu haben:

1. Wenn ein Polynom über einem faktoriellen Ring irreduzibel ist, so auch über seinem Quotientenkörper.
2. Wenn mein Polynom also über den ganzen Zahlen irreduzibel ist, so auch über den rationalen Zahlen.
3. (2) ist ein Primideal in den ganzen Zahlen und deshalb darf ich reduzieren auf Z/(2)

Mein Polynom war:
$\begin{eqnarray*} x^5-5x^4-6x-1 \end{eqnarray*}$
reduziert ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} x^5+x^4+1 \end{eqnarray*}$

Das reduzierte Polynom hat keine Nullstellen in Z/2 und deshalb muss es, falls es zerfällt, in ein Polynom von Grad 2 und eins von Grad 3 zerfallen.
Dazu schaue ich mir jetzt die Polynomdivision an und sehe, dass egal welches Polynom ich vom Grad 2 nehme, immer ein Rest bleibt. Damit ist das Polynom in reduzierter Form irreduzibel und damit im Rückschluss auch über den rationalen Zahlen.

Danke sehr noch mal für die Hilfe. Ich denke, dass ich anhand der Aufgabe viel gelernt habe.

07.07.2014, 19:36

Mulder

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Zitat:

Original von MartinL
Das reduzierte Polynom hat keine Nullstellen in Z/2 und deshalb muss es, falls es zerfällt, in ein Polynom von Grad 2 und eins von Grad 3 zerfallen.

Genauer: In irreduzible Polynome vom Grad 2 und 3. Denn wenn diese Faktoren reduzibel wären, hätte man ja plötzlich wieder einen Linearfaktor drin und dann wieder eine Nullstelle. Das darf also nicht sein. Denn Nullstellen haben wir ja eben nicht.

Folglich muss man also, um auf Irreduzibilität über Z2 zu prüfen, nichts weiter tun, als durch das einzige irreduzible Polynom vom Grad 2 zu dividieren, nämlich x²+x+1. Das hattest du ja in a) schon ermittelt. Allerdings ist es nunmal leider Gottes so, dass diese Division aufgeht. In Z2 ist

$\begin{eqnarray*} x^5+x^4+1= (x^2+x+1)(x^3+x+1) \end{eqnarray*}$

und das Polynom somit reduzibel. Also keine Aussage möglich, bringt uns nicht weiter. Hast du dich da verrechnet?

Du könntest es nun noch modulo 3 probieren, nach dem gleichen Schema. Vielleicht klappt es dort ja. Wie gesagt, auch dort habe ich selber jetzt nicht nachgerechnet.

07.07.2014, 23:24

MartinL

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Oh stimmt, da hab ich mich verrechnet. Dieses Modulo Zeug ist verwirrend. Mit Modulo 3 müsste es aber passen. Ich habe zumindest bei keiner Polynomdivision "Erfolg" gehabt. Mir ist allerdings noch aufgefallen, dass es nicht bei den drei irreduziblen Polynomen bleibt. Für die Division muss man ja auch die nicht normierten Polynome noch betrachten. Da gibt es noch mal drei. Die werden in Teil a) nicht mit abgefragt aber hätten ja theoretisch in Teil b) eine Rolle spielen können. Immerhin ist $\begin{eqnarray*} x^5 = 2x^3 * 2x^2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jetzt, dass ich mich nicht verrechnet habe aber das Prinzip hab ich zumindest verstanden.

Gruß
Martin

08.07.2014, 15:30

Mulder

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Zitat:

Original von MartinL
Die werden in Teil a) nicht mit abgefragt aber hätten ja theoretisch in Teil b) eine Rolle spielen können. Immerhin ist $\begin{eqnarray*} x^5 = 2x^3 * 2x^2 \end{eqnarray*}$

Nein, sie hätten keine Rolle spielen können. Da das Ausgangspolynom bereits normiert war, konnte man in einer etwaigen Zerlegung die beiden Faktoren auch ohne Einschränkung als normiert annehmen.

Denn wenn man einen Faktor als nicht normiert annimmt, kann man den Leitkoeffizienten ausklammern (und der ist ja in jedem Fall eine Einheit, also uninteressant) und dann hat man wieder den normierten Fall. Ist also dann der selbe Kram. Da deckt man keine weiteren Fälle mehr mit ab. Darum hat man sich in a) auch darauf beschränkt, nur die normierten irreduziblen Polynome zu verlangen. Weil alles weitere uninteressant gewesen wäre, alle weiteren irreduziblen Polynome sind zu einem der normierten assoziiert.

Wenn du jetzt noch mit drei weiteren Polynomen rumgerechnet hast, klammere bei diesen dreien mal jeweils den Leitkoeffizienten aus und vergleich das, was du dann hast, mit den drei Polynomen aus Aufgabe a). Dann siehst du, dass das für diese Aufgabe vergeudete Zeit war. Aber Polynomdivision üben kann ja andererseits auch nie schaden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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