Komplexe Zahlen

04.07.2014, 16:16

kompi123

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Komplexe Zahlen

Hallo

wir haben neulich ein neues thema in mathe angefangen, das ich trotz aller Bemühungen wirklich nicht verstehe, nämlich komplexe Zahlen.
Dazu haben wir auch Übungen bekommen bei denen ich wirklich eure Hilfe brauche:

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} -2z^2+8z-26=0 \end{eqnarray*}$

a) Welche Lösungen ergeben sich im Rechenbereich der komplexen Zahlen? Geben
Sie die Lösungen in der kartesischen Form an.
b) Stellen Sie die Lösungen als Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene dar.
c) Transformieren Sie die Lösungen in die beiden Polarformen.

kann mir jemand bitte einige Tipps zu der Aufgabe geben. danke

04.07.2014, 16:19

Math1986

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RE: Komplexe Zahlen
Na, die PQ-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen sollte dir doch ein Begriff sein. damit erhältst du dann zwei möglicherweise komplexe Lösungen der Gleichung.

04.07.2014, 16:51

kompi123

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klar, ich erhalte für x1 und x2

$\begin{eqnarray*} 2 \pm \sqrt{-9} \end{eqnarray*}$

04.07.2014, 16:52

Math1986

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Zitat:

Original von kompi123
klar, ich erhalte für x1 und x2

$\begin{eqnarray*} 2 \pm \sqrt{-9} \end{eqnarray*}$

Ja, und dies musst du nun als komplexe Zahl darstellen.

04.07.2014, 17:05

kompi123

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ja, wie macht man das :/

man hat doch iwie so ne allg. Formel

z= a + ib :S?

04.07.2014, 17:10

kompi123

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also

$\begin{eqnarray*} z= 2+ i * \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ ?

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04.07.2014, 17:24

Math1986

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Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{-9}=i\sqrt 9 \end{eqnarray*}$

04.07.2014, 17:42

kompi123

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jaa...also ich hab so umgeformt :

$\begin{eqnarray*} z1 = 2+ \sqrt{(-1)*9} = 2 + \sqrt{1} * \sqrt{9} = 2+ i*3 \end{eqnarray*}$

Ich hab vorhin was falsch eingetippt also das Ergebnis wäre dann

2+ i*3

04.07.2014, 19:06

Math1986

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Nicht ganz:
$\begin{eqnarray*} z1 = 2+ \sqrt{(-1)*9} = 2 + \sqrt{-1} * \sqrt{9} = 2+ i*3 \end{eqnarray*}$
Nun schau dir mal die Gaußsche Zahlenebene an.

04.07.2014, 20:09

kompi123

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oh, ich hab ads minus vergessen.

Bei der Gaußschen Zahlenebene haben wir einmal die y-Achse mit Im(z)= Imaginärteil und x-Achse mit Re(z) als realteil. und ich hab ja nun $\begin{eqnarray*} 2+i&#8727;3 \end{eqnarray*}$

d.h. ich muss doch 2 auf der x achse und 3 auf der y achse und der Punkt wo sie sich treffen ist dann die kpmplexe Zahl. oder?

04.07.2014, 20:34

kompi123

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also als ergebnis hab ich ja

2+i∗3

04.07.2014, 21:30

kompi123

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na gut das hab ich jetzt. Aber wie wandle ich das nun in die Polarformen um?? das versteh ich gar nicht.

04.07.2014, 21:38

Math1986

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Bitte bemühe dich, deine Beiträge leserlich darzustellen.

Die Lösungen sind
$\begin{eqnarray*} 2\pm 3i \end{eqnarray*}$
also musst du ahc beide Lösungen darstellen.

Hast du dir man angeschaut, wie die Polarform ausschaut? Du zeichnest dir die Verbindungsgerade zwischen dem Nullpunkt und bestimmst dann den Winkel und den Abstand des Punktes zum Nullpunkt.

04.07.2014, 21:40

kompi123

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(tut mit leid ich kann die edit Funktion nicht verwenden. )

Jedenfalls hab ich die Umformung in die Polarform versucht und folgendes rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} z1= 2+ \sqrt{3i} = \sqrt{7} * e^{0,7137i} = \sqrt{7} (cos(0,7137) + isin(0,7137)) \end{eqnarray*}$

05.07.2014, 12:52

Math1986

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Zitat:

Original von kompi123
$\begin{eqnarray*} z1= 2+ \sqrt{3i} = \sqrt{7} * e^{0,7137i} = \sqrt{7} (cos(0,7137) + isin(0,7137)) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0,7137 \end{eqnarray*}$ ? Bitte Rechenweg angeben.

05.07.2014, 13:05

kompi123

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Ich hatte vorhin auch einen Fehler gemacht jedenfalls hab ich nun folgendes:

mit z= 2+ 3i

x1=2
y1=3

$\begin{eqnarray*} r = | z1 | = \sqrt{2^{2} + 3^{2} } = \sqrt{13} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13} } \end{eqnarray*}$

arccos davon ergibt sich dann 0,98

=>

$\begin{eqnarray*} z1 = 2 + 3i = 2*e^{0,98i} = \sqrt{13} ( cos(0.98 + isin(0.98)) \end{eqnarray*}$

05.07.2014, 13:12

Math1986

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Ja, das stimmt soweit Freude

Freude

05.07.2014, 13:46

kompi123

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super

smile

Kannst du mir auch bei der Addition komplexer Zahlen helfen? smile

smile

$\begin{eqnarray*} z1 = \sqrt{8} * [cos(\pi /4)+ i * sin (\pi /4)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z2 = \sqrt{2} * e^{i*(\frac{\pi }{3}) } \end{eqnarray*}$

dafür hab ich folgende "Formel"

$\begin{eqnarray*} z1 \pm z2 = ( x1 \pm x2) + i(y1 \pm y2) \end{eqnarray*}$

mein Problem hier war jetzt , dass ich bei z2 dass i im Exponenten habe :S WIe mach ich das nun?

05.07.2014, 14:26

Math1986

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Zitat:

Original von kompi123
super smile

smile

Kannst du mir auch bei der Addition komplexer Zahlen helfen? smile

smile

$\begin{eqnarray*} z1 = \sqrt{8} * [cos(\pi /4)+ i * sin (\pi /4)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z2 = \sqrt{2} * e^{i*(\frac{\pi }{3}) } \end{eqnarray*}$

Es ist
$\begin{eqnarray*} z_2 = \sqrt{2} * e^{i*(\frac{\pi }{3}) } =\sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi }{3}+i\sin\frac{\pi }{3}\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von kompi123
dafür hab ich folgende "Formel"

$\begin{eqnarray*} z1 \pm z2 = ( x1 \pm x2) + i(y1 \pm y2) \end{eqnarray*}$

mein Problem hier war jetzt , dass ich bei z2 dass i im Exponenten habe :S WIe mach ich das nun?

Diese Formel beziegt sich nur auf die Darstellungen $\begin{eqnarray*} z_1=x_1+i y_1,z_2=x_2+i y_2 \end{eqnarray*}$ .
Du musst die obigen Zahlen zunächst umwandeln, oder sie direkt addieren.

Siehe auch [WS] Komplexe Zahlen für eine Einführung.

07.07.2014, 16:15

kompi123

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ach z1 und z2 die gegeben sind sind doch in der Polarform , oder?? das heißt ich muss die doch erst in die kartessche FOrm überführen für die Addition... traurig

traurig

traurig

zumindest z1

07.07.2014, 16:24

kompi123

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]Es ist
$\begin{eqnarray*} z_2 = \sqrt{2} * e^{i*(\frac{\pi }{3}) } =\sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi }{3}+i\sin\frac{\pi }{3}\right) \end{eqnarray*}$

ich versteh jetzt nicht wieso aus miner wurzel 8 wurzel 2 wird und in der klammer aus pi/4 pi/3??

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