Wann ist diese Matrix orthogonal?

04.07.2014, 21:48	Oran	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann ist diese Matrix orthogonal? Hallo, ich komme etwas durcheinander und hoffe ihr könnt Klarheit schaffen. Zur Aufgabe: $\begin{eqnarray} A = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich soll angeben für welches a die Matrix Orthogonal ist. nun bin ich nicht ganz sicher wie ich das machen soll und habe nun mehrer Möglichkeiten gefunden komme aber auf unterschiedliche Ergebnisse. Meine 3 Ansätze: 1. Ansatz $\begin{eqnarray} det(E)=det(A^{T}A)=det(A^{T})det(A)=det^{2}(A) \end{eqnarray}$ Daher muss det(A) = +/- 1 sein. Ich komme aber auf $\begin{eqnarray} \frac{4a+9}{5} \end{eqnarray}$ Demnach auf a=-1 2.Ansatz Die Vektoren müssen jeweils zueinander 0 sein, also ihr Produkt. ich komme damit auf $\begin{eqnarray} 43+(-3a)=0 \end{eqnarray}$ Also a=4 3.Ansatz $\begin{eqnarray} A^{T} = A^{1} A^{-1} A = E A^{T} * A = E \end{eqnarray}$ Somit ergibt sich bei mir: $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} * \begin{pmatrix} 25 & -12+3a \\ -12+3a & 9+a^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit a=4 käme ich auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
04.07.2014, 22:03	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Determinante stimmt nicht.
05.07.2014, 00:16	Oran	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke irgendwie bin ich blind oder zumüde oder beides. habe die 1/5 einfach am ende mit reingezogen, müssen natürlich auch in der rechnung mit drinne bleiben und demnach sind es dann ja $\begin{eqnarray} \frac{4a+9}{25} \end{eqnarray}$ Da jeder Faktor ein 5er Bruch ist und deren Produkt somit ein 25stel ist. Ergo passt das mit 4 dann wieder. Aber die 3 Methoden sind soweit richtig und gleichwertig (d.h. alle funktionieren bei den gleichen vorraussetzungen oder sind manche nur in sonderfällen zulässig?)

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