Grenzwerte bestimmen mit Regeln von de l'Hospital

05.07.2014, 12:54

MarioH

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Grenzwerte bestimmen mit Regeln von de l'Hospital

Meine Frage:
a) $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} \frac{1}{x}-\frac{1}{log(x+1)} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} (1 + arctan(x))^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1} -\frac{\frac{\pi}{2}-arcsin(x)}{\sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} x^\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} \frac{1}{x}-\frac{1}{log(x+1)} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} \frac{log(x+1)-x}{x*log(x+1)} \end{eqnarray*}$ | l'Hospital
= $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{x+1}-x}{x*\frac{1}{x+1}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} \frac{1}{x+1}-x = 1 \end{eqnarray*}$

Bei den anderen Teilaufgaben seh ich leider noch nicht, was ich umformen muss um die Regeln anwenden zu können.

05.07.2014, 16:00

grosserloewe

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RE: Grenzwerte bestimmen mit Regeln von de l'Hospital
Wink

Wink

zu a)

Dein Wert stimmt nicht

Du hast falsch abgeleitet , bis zur Bildung des Hauptnenners stimmt es
(2.Zeile)

zub)

Hier liegt ein Ausdruck

$\begin{eqnarray*} 1^{\infty } \end{eqnarray*}$

vor , gehe hier zur e- Funktion über und wende dann L'Hospital an.

zuc)

Ich denke der Strich ist überflüssig?

Hier hast Du 0/0

----->Zähler und Nenner jeweils ableiten (L' Hospital)

zud)

Hier liegt ein Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \infty ^{0} \end{eqnarray*}$

vor , gehe hier zur e- Funktion über und wende dann L'Hospital an.

06.07.2014, 12:12

MarioH

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Hab leider keine Nachricht über die Antwort bekommen, ich setze mich gleich mal hin smile

smile

Zur c)
Der Strich war zwischen der 1 beim Grenzwert und dem eigentlichen Term... ich weiß nicht ob der als Minus gemeint war :/ Das sah auf dem Übungszettel komisch aus, ich versuch mal noch rauszufinden ob das dort hingehört oder nicht. smile

smile

06.07.2014, 12:29

MarioH

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Zur a)
Ich hab die x nicht abgeleitet o.O Außerdem muss unten die Produktregel angewendet werden
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{x+1}-1}{ln(x+1)*\frac{x}{x+1}} \end{eqnarray*}$

Ich wollte das grad überprüfen lassen und hab dabei ein komplett anderes Ergebnis mit 3 Einzeltermen gefunden, daher gleich die Frage: Ist das immernoch falsch?
Nicht, dass ich mit dem falschen weiterrechne.

06.07.2014, 12:49

Bernhard1

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Zitat:

Original von MarioH
Ist das immernoch falsch?

Im Nenner muss eine Summe stehen. Typischer Flüchtigkeitsfehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

06.07.2014, 12:52

MarioH

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a)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{x+1}-1}{ln(x+1)+\frac{x}{x+1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{-1}{(x+1)^2}}{log(x+1)*(\frac{1}{x+1}-\frac{x}{(x+1)^2})+\frac{x}{x+1}*\frac{1}{x+1}} \end{eqnarray*}$ |kürze mit (x+1)^2
$\begin{eqnarray*} = \lim_{x\to0} \frac{-1}{log(x+1)(x+1)-log(x+1)x+x} \end{eqnarray*}$

Sieht recht fehlerhaft aus :/

EDIT: Okay, dann wäre der Grenzwert auch anders - warum eine Summe? Sehs grad nicht ganz^^
Ach im Nenner, dachte gerade an den Zähler. Überarbeitet:

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{-1}{(x+1)^2}}{\frac{1}{x+1}+(\frac{1}{x+1}-\frac{x}{(x+1)^2})} \end{eqnarray*}$

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06.07.2014, 14:39

grosserloewe

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Wink

der Nenner stimmt nicht.

ich habe für den Nenner erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

mit dem Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$

06.07.2014, 20:31

Bernhard1

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Zitat:

Original von MarioH
a)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{x+1}-1}{ln(x+1)+\frac{x}{x+1}} \end{eqnarray*}$

Hallo Mario,

soweit so gut. Da man da immer noch einen unbestimmten Ausdruck hat, muss man ein zweites Mal l'Hospital anwenden, wie Du es versucht hast:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{-1}{(x+1)^2}}{log(x+1)*(\frac{1}{x+1}-\frac{x}{(x+1)^2})+\frac{x}{x+1}*\frac{1}{x+1}} \end{eqnarray*}$

Der Zähler ist OK, aber der Nenner enthält noch Fehler. grosserloewe hat die Lösung korrekt angegeben.

07.07.2014, 11:47

MarioH

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Das war falsch, habe ich ja im EDIT erkannt und verbessert. Habs aber nicht rauslöschen wollen.

Mein Nenner steht nun ja in den EDIT und habs auch nochmal online geprüft (der Rechner scheint recht zuverlässig :P) - da habe ich ebenfalls für den Nenner $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x+1}-\frac{x}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Das kann man ja eigentlich noch umformen:
$\begin{eqnarray*} \frac{2(x+1)}{(x+1)^2}-\frac{x}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-x}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$
Okay, dann hab ich ja dasselbe wie grosserloewe rausbekommen. smile

smile

Zur b) und d):
Meinst du hier mit zur e-Funktion übergehen, dass ich x substituieren soll oder dass ich so umformen soll: $\begin{eqnarray*} x^a = exp(a*log(x)) \end{eqnarray*}$ ?

c)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1} \frac{\frac{\pi}{2}-arcsin(x)}{\sqrt{1-x}} = \lim_{x\to1} \frac{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}} = \lim_{x\to1} \frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$ und nochmal l'Hospital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1} \frac{\frac{-1}{\sqrt{1-x}}}{\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}} \end{eqnarray*}$

Okay... Wenn ich die Funktion mehrmals ableite, erhalte ich immer wieder 0/0 - vermutlich hab ich hier einen Fehler mit dem Ableiten der Wurzel oder dem Umformen gemacht.

07.07.2014, 15:09

klarsoweit

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Vielleicht sollte du mal bei 1 - x² an die 3. binomische Formel denken. smile

smile

07.07.2014, 15:45

MarioH

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Ich denke generell nie an die 3. binomische Formel! Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1} \frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^2}} = \lim_{x\to1} \frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} \end{eqnarray*}$

Jetzt erhalte ich aber wieder unter beiden Wurzeln 0 verwirrt

verwirrt

07.07.2014, 15:47

klarsoweit

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Ich hatte angenommen, daß die Möglichkeit des Kürzens nun geradezu ins Auge springt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.07.2014, 15:52

MarioH

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Tut mir leid, auch wenn ich Mathe ansich verstehe... meine Fähigkeiten im Umformen und Kürzen sind enorm eingerostet Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1} \frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{(1+x)}} = \frac{0}{2} \end{eqnarray*}$

07.07.2014, 15:57

klarsoweit

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In der Tat. Gewöhnlich kürzt man gleiche Faktoren. Also die Rechnung oben ist diesbezüglich untauglich. geschockt

geschockt

07.07.2014, 16:19

MarioH

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Ich glaub ich schieb grad etwas Stress, da es auf die Prüfungen zugeht - so viele Denkfehler hab ich schon lange nichtmehr gemacht... Also der Grenzwert ist hier dann 1, perfekt. Dann schau ich mir mal noch die b) und d) an.

07.07.2014, 17:20

MarioH

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d)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} x^\frac{1}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} e^{\frac{1}{\sqrt{x}}*log(x)} = \lim_{x\to\infty} e^{\frac{log(x)}{\sqrt{x}}} \end{eqnarray*}$
log(x) und Wurzel x gehen beide gegen unendlich, aber kann ich da das e einfach wegdenken und ableiten? Oder einfach den ganzen Term ableiten? Denn eigentlich steht ja e^... im Zähler und 1 im Nenner.

07.07.2014, 21:36

grosserloewe

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Wink

ja und auf Grund der Stetigkeit der e- Funktion kann man schreiben:

= $\begin{eqnarray*} e^{\lim_{x \to \infty } \frac{ln(x)}{\sqrt{x} } } \end{eqnarray*}$

dann L' Hospital angewendet , so geht der lim Ausdruck gegen 0

und

$\begin{eqnarray*} e^{0} \end{eqnarray*}$

ist dann1 als Lösung

PS:

übrigens bei c kommt als Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

heraus

smile

smile

09.07.2014, 13:44

MarioH

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Noch kurz die b):
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} (1 + arctan(x))^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{x\to0} e^{\frac{log(1+arctan(x))}{x}} \end{eqnarray*}$ | l'Hospital
$\begin{eqnarray*} = e^{\lim_{x\to0} \frac{1}{1+arctan(x)}} = e^{\frac{1}{1}} = e \end{eqnarray*}$

Und die d):
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} x^\frac{1}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} e^{\frac{1}{\sqrt{x}}*log(x)} = \lim_{x\to\infty} e^{\frac{log(x)}{\sqrt{x}}} \end{eqnarray*}$ | da e^x stetig:
$\begin{eqnarray*} = e^{\lim_{x \to \infty } \frac{ln(x)}{\sqrt{x}}} \end{eqnarray*}$ | l'Hospital
$\begin{eqnarray*} = e^{\lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}} = e^{\lim_{x \to \infty } \frac{2\sqrt{x}}{x}} = e^{0} = 1 \end{eqnarray*}$

Gut, dann hab ich jetzt alles smile

smile

Auch wenns hier im Forum chaotisch mit vielen Fehltritten aufgeschrieben ist!^^
Danke!

09.07.2014, 13:49

klarsoweit

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Mir scheint, du hast bei der Ableitung von log(1 + arctan(x)) die Kettenregel nicht beachtet.

09.07.2014, 14:02

MarioH

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Ohja, hab ich ignoriert.
Hatte grad nichtmehr viel Zeit, das mache ich heute Abend. Das schaff ich dann aber allein.

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