Verschoben! Fixpunktiteration und Fixpunktsatz von Banach |
05.07.2014, 17:37 | LookingForFreedom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fixpunktiteration und Fixpunktsatz von Banach Gegeben sei eine Gleichung mit und dem Intervall . Stellt man die Funktion um so kommt man auf: . Damit diese Gleichung mit der Fixpunktiteration annäherbar ist, muss u.a. nach dem Fixpunktsatz von Banach folgendes gelten: 1) D ist zusammenhängend und konvex 2) Die Funktion f (hier: ) muss eine Kontraktion sein, d.h. es muss folgendes gelten: mit und Mein Problem: Ich weiß nicht, wie ich nachweisen kann, ob mein Intervall zusammenhängend ist. Beim zweiten Punkt bin ich mir auch unsicher, dazu mehr unter "Meine Ideen" Meine Ideen: mit x=2 und y=1: Doch was hat dieses Lambda nun zu bedeuten? Ist das bereits die Lipschitz-Konstante? Aber wieso wäre sie dann "größer/gleich" 0,6931471806? |
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05.07.2014, 18:00 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ein Intervall zusammenhängend ist, solllte doch klar sein. Versuchst du mit einem Beispiel die Kontraktionskonstante zu bestimmen? |
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05.07.2014, 18:21 | LookingForFreedom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zusammenhängenf ist klar. Aber wie kann ich zeigen, dass es konvex ist? Ja, genau, ich versuche die Kontraktionskonstante zu berechnen! |
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05.07.2014, 18:46 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » |
Konvex heißt ja, dass für alle mit auch ist, und zwar für alle . Das sollte eigentlich klar sein. Also haben wir . Dann ist , kannst du da weiter abschätzen? EDIT: Bezeichnung: . |
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05.07.2014, 18:58 | LookingForFreedom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich verstehe nicht ganz, was du mit "kannst du weiter abschätzen" meinst? Denn es geht ja ums Berechnen oder? |
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05.07.2014, 19:00 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was heißt berechnen? Du musst abschätzen, also musst du jetzt was finden was passt. |
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05.07.2014, 19:43 | LookingForFreedom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe jetzt noch etwas Fachliteratur studiert und die Uni Hamburg sagt folgendes: Wenn die Funktion stetig differenzierbar ist, dann gilt durch den MWS: L := max {|f ′ x)|. Wende ich das auf meine Funktion an, dann komme ich auch 2/3!? Stimmt das? |
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05.07.2014, 19:49 | LookingForFreedom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sollte L := max {|f'(x)|} heißen. |
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05.07.2014, 19:49 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das kann ich jetzt zwar nicht lesen, aber wenn du selbst keine Abschätzung finden willst, kannst du das ja benutzen. EDIT: Ok, zu lesen ist es jetzt. Du könntest natürlich auch einfach den MWS nutzen. |
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05.07.2014, 20:04 | LookingForFreedom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also was sagt ihr dazu: |
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05.07.2014, 20:11 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was sollen diese zusammenhangslosen Gleichungen sagen? Wenn dann musst du den MWS nutzen, wie heißt der? |
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05.07.2014, 20:26 | LookingForFreedom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das heißt zwischen den Punkten a und b gibt es einen Punkt x_0, dessen Tangente parallel zu der Sekante zwischen an und b ist. Aber was soll ich damit anfangen? |
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