Verschoben! Fixpunktiteration und Fixpunktsatz von Banach

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Fixpunktiteration und Fixpunktsatz von Banach
Meine Frage:
Gegeben sei eine Gleichung mit und dem Intervall . Stellt man die Funktion um so kommt man auf: .
Damit diese Gleichung mit der Fixpunktiteration annäherbar ist, muss u.a. nach dem Fixpunktsatz von Banach folgendes gelten:
1) D ist zusammenhängend und konvex
2) Die Funktion f (hier: ) muss eine Kontraktion sein, d.h. es muss folgendes gelten: mit und

Mein Problem:
Ich weiß nicht, wie ich nachweisen kann, ob mein Intervall zusammenhängend ist.
Beim zweiten Punkt bin ich mir auch unsicher, dazu mehr unter "Meine Ideen"

Meine Ideen:


mit x=2 und y=1:





Doch was hat dieses Lambda nun zu bedeuten? Ist das bereits die Lipschitz-Konstante? Aber wieso wäre sie dann "größer/gleich" 0,6931471806?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Das ein Intervall zusammenhängend ist, solllte doch klar sein.
Versuchst du mit einem Beispiel die Kontraktionskonstante zu bestimmen?
LookingForFreedom Auf diesen Beitrag antworten »

Zusammenhängenf ist klar. Aber wie kann ich zeigen, dass es konvex ist?

Ja, genau, ich versuche die Kontraktionskonstante zu berechnen!
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Konvex heißt ja, dass für alle mit auch ist, und zwar für alle . Das sollte eigentlich klar sein.

Also haben wir . Dann ist , kannst du da weiter abschätzen?

EDIT: Bezeichnung: .
LookingForFreedom Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz, was du mit "kannst du weiter abschätzen" meinst?
Denn es geht ja ums Berechnen oder?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt berechnen? Du musst abschätzen, also musst du jetzt was finden was passt.
 
 
LookingForFreedom Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt noch etwas Fachliteratur studiert und die Uni Hamburg sagt folgendes:
Wenn die Funktion stetig differenzierbar ist, dann gilt durch den MWS: L := max {|f &#8242traurig x)|. Wende ich das auf meine Funktion an, dann komme ich auch 2/3!? Stimmt das?
LookingForFreedom Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte L := max {|f'(x)|} heißen.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich jetzt zwar nicht lesen, aber wenn du selbst keine Abschätzung finden willst, kannst du das ja benutzen.

EDIT: Ok, zu lesen ist es jetzt. Du könntest natürlich auch einfach den MWS nutzen.
LookingForFreedom Auf diesen Beitrag antworten »

Also was sagt ihr dazu:







bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was sollen diese zusammenhangslosen Gleichungen sagen? Wenn dann musst du den MWS nutzen, wie heißt der?
LookingForFreedom Auf diesen Beitrag antworten »



Das heißt zwischen den Punkten a und b gibt es einen Punkt x_0, dessen Tangente parallel zu der Sekante zwischen an und b ist.

Aber was soll ich damit anfangen?
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