Fehlende Ziffern in Produkt mehrerer Zahlen

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlende Ziffern in Produkt mehrerer Zahlen
Hallo alle zusammen Wink
ich habe ein Problem mit folgendem Typ von Aufgaben. Da das ganze schon ein wenig zurück liegt und ich auch das Skript nicht mehr finde, wende ich mich an euch.

a.)
b.)
c.)

Ich möchte nun gerne die fehlende Ziffern x,y und z bestimmen, ohne einen Taschnrechner oder ähnliches verwenden zu wollen.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen :-)

Edit:
Zu Aufgabe a: Diese Zahl müsste durch 9 wie auch durch 11 teilbar sein. Das heißt hier kann ich die fehlenden Ziffern mit der (alternierenden) Quersumme ermitteln. Sind diese Bedingungen durch 9 und 11 teilbar, sollte ich so auch die fehlenden Ziffern x und y ergänzen können.
Die alternierende Quersumme ist -15+x+y, sowie die 41+x+y für die Quersumme. Das heißt, die fehlenden Zahlen haben die Bedingung x+y=4, denn so sind beide Ausagen wahr. x={1,2,3,4,0} und y={1,2,3,4,0}, mit x+y=4.

Zu Aufgabe c: müsste die letzte Ziffer eine 6 sein, da , somit z=6.
Ansonsten müsste sie wie a lösbar sein.

Zu Aufgabe b: Hier bräuchte ich also etwas Hilfe.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlende Ziffern in Produkt mehrerer Zahlen
hallo,
für b) habe ich eine tolle idee: betrachte 17^22 - 8^22 doch mal modulo 9. Augenzwinkern
gruss ollie3
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Puh boa, modulo rechnen. auch jetzt schon etwas her.
Bin mir also bzgl der regeln nicht sicher. Aber wenn ich modulo 9 rechne, dann habe ich doch:
.
Jetzt müsste ich glaube den Satz von Euler anwenden, falls das geht.

und und

Somit


Aber das bringt mich ja jetzt nicht sonderlich weiter oder? Bzw richtig sieht das irgendwie auch nicht aus. unglücklich ich weiss doch jetzt nur, dass der Rest 2 ist, bei der Division durch 9. verwirrt

Edit: Bzgl a.) Wie kann ich feststellen, welche Ziffern x und y sind?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Die dritte binomische Formel hilft bei b)
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
du hast dir nur unnötig das leben schwer gemacht, und das ergebnis ist auch nicht richtig.
Also, es ist 17^22 - 8^22=(-1)^22- (-1)^22=1-1=0, also ist 17^22 - 8^22 durch 9 teilbar,
das ergebnis muss also die quersumme 9 haben. Augenzwinkern
gruss ollie3
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt, so geht es auch, danke dir Freude
Die fehende Ziffer ist somit "2".

Hast du noch einen Tipp zu den Aufgaben a) und c)?
Ich habe mir jetzt bei a.) noch überlegt, dass ich über die Zeilbarkeit gehen kann verwirrt Über die PFZ kann ich sehen, dass a.) durch 1000 teilbar sein muss, das heißt y=0 und somit ( wegen Quersumme+alternierende Quersumme) muss x=4. Stimmmt das so oder ist das wieder umständlich?

Zu c.) hatte ich ja bereits z=6
Außerdem weiss ich, dass keine der Zahlen durch 9 teilbar ist.
Die alternierende Quersumme sagt mir, dass 145379629538 durch 11 teilbar ist und somit auch das Ergebnis durch 11 teilbar sein muss.
Die alternierende Quersumme des Ergebnis ist 27+x-y. Das heißt x-y=6 oder x-y=-5. Wie erhalte ich jetzt das Ergebnis? Welchen Trick kann ich noch gut anwenden?
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
also, deine überlegungen zu a) sind richtig. Freude
Und bei c) fällt mir nur ein, das ganze "brute force" zu machen und
die sache modulo 100 zu betrachten, dann weisst du, dass die beiden letzten
ziffern yz mit den letzen beiden ziffern von 38 * 87 übereinstimmen müssen.
Um dann noch das fehlende x zu bestimmen, könnte man die gleichung
wieder modulo 9 untersuchen. Augenzwinkern
gruss ollie3
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo olli,
mhhh scheint mir alles aufwendig zu sein. Also, wenn ich die letzten beiden Zahlen habe, dann ist da x ja leicht zu bestimmen, wegen der alternierenden Quersumme.
Weswegen ich das ganze dann modulo 9 betrachten soll, erschließt sich mir in dem Falle nicht, denn keiner der beiden Faktoren ist durch 9 oder 3 teilbar, somit also auch nicht das Produkt verwirrt (oder habe ich mich bei der Quersumme vertan?)

Ich betrachte das Ganze mal modulo 100:
.
Jetzt gibt es ja die regel, dass ich den größten gemeinsamen Teiler rauskürzen kann. ggT(38,100)=2 ODer lässt sich das hier nicht anwenden? ich möchte ja die Zahlen 38 und 87 noch möglichst klein bekommen, deshalb ist das jetzt meine Vermutung. Oder wie kann ich das weiter vereinfachen?

Wenn ich das jetzt mit der ggT-Regel weiter rechnen würde, so hätte ich
.
Das ist aber offensichtlich nicht richtig verwirrt
Oder ist der einzige Weg hier, schriftlich auszurechnen, das ist dann 6 mod 100. Somit wären die letzten beiden Ziffern 06 und x = 6.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
ja, so meinte ich das, die letzten beiden ziffern sind dann 06.
Und dann kann man den rest mit der alternierenden quersumme ausrechnen.
gruss ollie3
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber du hast sonst auch keine andere Idee, als dass ich direkt ausrechnen muss oder?

Ansonsten vielen Dank für deine Hilfe Wink Freude
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