Iterierte Integrale berechnen

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HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »
Iterierte Integrale berechnen
Hallo, ich habe da eine Aufgabe gegeben in der ich mir unsicher bin, wie ich die Funktionen genau einzusetzen habe, denn die Intervalle in denen die jeweiligen Funktionen zugeschrieben sind, machen mich stutzig. (Siehe Anhang).

Die Integrale zu lösen stellen kein Problem dar und ich denke letztendlich sollen wir mit dieser Aufgabe indirekt zeigen, dass man dx/dy tauschen kann und dasselbe Ergebnis herrauskommt. (Korrigiert mich bitte wenn ich da falsch liege?)

Wie gesagt weiss ich nicht wie die Funktionen der abschnittsweisen definierten Funktion einzusetzen sind, da für mich anscheinend beide Funktionen dasselbe Intervall besitzt... Ich bedanke mich für jede hilfreiche Antwort! Und bitte nur Tipps die mich eventuell weiterbringen können (Keine Lösungen!). smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne doch einfach einmal ein paar Funktionswerte aus, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie die Funktion definiert ist. Ein paar Beispiele:











Klar, wie das funktioniert?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HBX8X,

überlege Dir, ob bei der Fallunterscheidung die Gerade y=x nicht eine wichtige Rolle spielen könnte.
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr.

So jetzt habe ich es verstanden wie die Funktionen zu wählen sind, wenn ich beliebige x und y Werte auswähle.

Doch wie ich die Integrale zu berechnen habe fällt mir leider immer noch nicht ein. Ein weiterer Tipp eventuell ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Fang einfach einmal mit dem ersten inneren Integral an, also mit . Für diese Integration mußt du als Konstante ansehen. Für ist der erste Term zuständig, für der zweite. An den Stellen ist der Funktionswert . Aber diese drei isolierten Stellen sind für die Integration und den Integralwert unerheblich. Du kannst daher



rechnen.
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schön!

Ich komme auf 1/y +1 - 1/y= 1 bzgl. das von dir genannte.

Jetzt sicherlich einfach S 1dy mit y=0..1 berechnen. Das heißt das Ergebnis der ersten Integralaufgabe ist 1? Ich verstehe aber einfach nicht wie du die Integragrenzen so gewählt hast. /:
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es in der Aufgabe so steht:





Beachte, daß für die Integration nach als eine Konstante anzusehen ist.
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nun das zweite Integral berechne folgt dann bzgl. dem inneren Integral nach dem ich es umschreibe:

y^-2 dy von 0 bis x + -x^-2 dy von x bis 1?

Aufjedenfall müsste am Ende dasselbe Ergebnis herrauskommen wie beim ersten Integral, dass soll wahrscheinlich die in der Aufgabe gestelllte Interpretation sein?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Intervallaufteilung stimmt, die Integranden nicht.
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss nun beides nach dx ebenfalls integriert werden, aber wieso denn? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso "nach dx"? Nein, die Integration erfolgt jetzt nach .
Kann es sein, daß du nicht weißt, was ein "Integrand" ist?
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen, die integranden werden wohl vertauscht, sonst bleibt alles beim alten.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HBX8X
sonst bleibt alles beim alten.

Rechne das zweite Integral mal lieber konkret aus und überprüfe das.
HBX88X Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, anscheinend kommt genau das Gegenteil herraus, nämlich -1, sofern meine Berechnungen richtig sind. Nun stellt sich die Frage woher das kommt. Das heißt wohl, das ich in diesem Fall hier nicht beliebig entscheiden kann ob ich zunächst nach x oder y meine Ausgangsfunktion integriere, da ja hier das erste Integral dxdy und das zweite dydx ist und letztendlich -1 und +1 herrauskommt. Das bedeutet also das Vorzeichen ändert sich nach tauschen der Differentiale.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat hängt das Ergebnis von der Integrationsreihenfolge ab. Zu deiner Beruhigung sei gesagt, daß so etwas bei stetigen Integranden nicht passieren kann. Aber unserer hier ist unstetig.
HBX88X Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schön, du hast mir in der Tat sehr geholfen. Vielen vielen dank!

Wink
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