M Teilmenge von P(M)

07.07.2014, 21:44

Albiel

M Teilmenge von P(M)

Meine Frage:
Sei folgender Zusammenhang gegeben: M Teilmenge von P(M)
Welche Lösungen gibt es für M?
Wie viele Lösungen gibt es?
Geben Sie eine Bedingung für M an, die erfüllt sein muss, damit der obige Zusammenhang gilt.

Meine Ideen:
M ist auf jedenfall eine Teilmenge von P(M) das ist klar nur verstehe ich die darauffolgenden Fragen nicht
denn M ist eine Menge die nicht definiert wird also ist doch die Lösung M oder nicht?
Diesbezüglich gibt es doch auch nur eine Lösung nämlich M
und mir fällt beim besten willen keine Bedungung ein, die das nicht erfüllt.

07.07.2014, 23:42

10001000Nick1

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RE: M Teilmenge von P(M)

Zitat:

Original von Albiel
M ist auf jedenfall eine Teilmenge von P(M) das ist klar

Sicher? Ist z.B. $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\subseteq P(\{1,2\})=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} \end{eqnarray*}$ ?

08.07.2014, 20:31

Louis1991

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RE: M Teilmenge von P(M)

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Sicher? Ist z.B. $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\subseteq P(\{1,2\})=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} \end{eqnarray*}$ ?

Da ich zur Zeit eine Logikvorlesung höre, glaube ich, dass ein Mengentheoretiker diese Frage mit "Ja" beantworten würde (jedenfalls, wenn man sich ansieht, wie in ZFC die Zahlen definiert werden).

Quasi wegen Definition würde ich sagen, dass die Menge der Lösungen des obigen Problems die Menge der Ordinalzahlen sein sollte.

Edit: okay, ich sehe gerade, meine Anmerkung @Nick war nicht ganz richtig. Es fehlt wohl eine Null im Set.

09.07.2014, 17:20

Albiel

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Zu Nick:
Ja bin ich. Ich rede hier von einer Teilmenge und keiner echten Teilmenge und da in deinem Bsp.: die Menge {1,2} einmal in der Potenzmenge vorkommt, ist sie eine Teilmenge von der Potenzmenge. Die anderen Elemente nicht, die Menge {1,2} weder ein Element {1} noch ein Element {2} hat. Vielleicht wollte er auch nur auf die leere menge raus, die ja Teilmenge einer jeden menge ist?

Zu Louis:
wenn die Lösung Ordinalzahlen sein sollen, dann müsste es mehr Elemente von der Menge M geben und wie ich vorher geschrieben habe kann das nicht der Fall sein, es sei denn ich habe was falsch verstanden und {1} is eine Teilmenge von {1,2}.

Wo wiederum die Frage der Bedingung ist. Ich habe keine Ahnung wann das nicht gelten soll.

09.07.2014, 17:48

Louis1991

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Ich glaube, du bist etwas verwirrt. Schreibe dir doch einmal die Definition raus, was es heißt, Teilmenge zu sein und vergleiche sie langsam mit den Aussagen oben.

09.07.2014, 21:44

Albiel

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Also hier die Definition:
Es seien A und B Mengen.
A heißt Teilmenge von B, geschrieben A $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B, falls für alle x gilt: x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B

Ich weiß nicht auf was du hinaus willst?

09.07.2014, 21:48

10001000Nick1

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Jetzt überprüfen wir, ob $\begin{eqnarray*} \{1,2\} \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} \end{eqnarray*}$ ist.

Ist $\begin{eqnarray*} 1\in \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} \end{eqnarray*}$ ?
Und ist $\begin{eqnarray*} 2\in \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} \end{eqnarray*}$ ?

09.07.2014, 22:01

Albiel

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zu beiden natürlich nein aber {1,2} ist doch in der Potenzmenge entahlten .....
mom Bin ich blöd Hammer

das ganze müsste dann so aussehen damit {1,2} eine Teilmeng von sagen wir mal K ist
{{2}, {3}, (1,2)} oder? d.h. das M keine Teilmenge von P(M) ist, was ist aber mit den nachfolgenden Fragen, für so gemein halt ich nämlich den Prof nicht, also muss es eine Bedingung geben wo dies der Fall ist. verwirrt

Was wenn es tatsächlich die leere Menge ist dann wäre $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ P( $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ )

P( $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ )={ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ ,{ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ }}
Demzufolge wäre die Menge einmal drin sprich sie wäre immer drin sofern die Menge M eine leere Menge beinhalten würde

Oder bin ich grad zu weit gegangen?

09.07.2014, 22:07

10001000Nick1

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Es ist z.B. $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\subseteq \{\emptyset, 1, 2, \{1,3,\pi\}\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\in \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\subseteq\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} \end{eqnarray*}$ .

Dein Beispiel stimmt. Die leere Menge ist Teilmenge ihrer Potenzmenge (sie ist sogar Teilmenge jeder Menge).
Es gibt aber auch noch andere Mengen. Was muss denn für ein Element $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gelten, damit auch $\begin{eqnarray*} x\in P(M) \end{eqnarray*}$ ist?

09.07.2014, 22:13

Albiel

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Im Prinzip müsste das Element nochmal als Menge in der menge vorkommen also:
M={5,{5}} dann wäre die Potenzmenge P(M)={ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ ,{5},{{5}},{5,{5}}}

09.07.2014, 22:28

Louis1991

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Zitat:

Original von Albiel
Im Prinzip müsste das Element nochmal als Menge in der menge vorkommen also:
M={5,{5}} dann wäre die Potenzmenge P(M)={ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ ,{5},{{5}},{5,{5}}}

Das geht so nicht ganz, weil ja wieder z.B. 5 kein Element der Potenzmenge ist. Ich schlage noch einmal die Ordinalzahlen vor.

09.07.2014, 22:35

Albiel

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Hast recht, aber dennoch muss es ne andere Lösung geben da wir Ordinalzahlen erst später im Skript behandeln. Ich bezweifle das er etwas vorraussetzt was er später erklärt.

09.07.2014, 22:59

Albiel

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Es tut mir leid, aber mir fällt bei besten willen nur die leeren mengen als Lösung ein

Bsp.: P( $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ )={ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ ,{ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ }}
P( $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ ,{ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ })={ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ ,{ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ },{ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ ,{ $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ }}}
usw.

das sind zwar indirekt die Ordinalzahlen und somit eine Hinführung dahin (was wir 3 Kapitel später behandeln) aber was anderes fällt mir nicht ein. Ist aber in meiner vorherigesn aussage gemeint gewesen:
"Demzufolge wäre die Menge einmal drin sprich sie wäre immer drin sofern die Menge M eine leere Menge beinhalten würde "

Gut war nicht gut formuliert aber das war damit gemeint.
Müsste korrekter sagen M wäre eine Teilmenge, wenn M eine leere Menge und/oder Elmente beinhalten würde, die leere Mengen sind.

Was anderes fällt mir nicht ein

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