Determinante berechnen

08.07.2014, 21:04

Determinanterich

Auf diesen Beitrag antworten »

Determinante berechnen

Hallöchen, ich habe die Aufgabe:

In der $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Matrix A seien alle Einträge 1. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume.

Meine Ideen dazu:

Ich habe mir einmal die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1-\lambda & ... & 1 \\ ...& ... & ... & ... \\ 1 & 1 & ... & 1-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben.
Ich dachte mir nun ich subtrahiere jeweils Zeile 3 mit Zeile 2, Zeile 4 mit Zeile 3 usw. Dann müsste die Matrix ja folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1-\lambda & ... & 1 \\ 0& \lambda & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich kann jetzt nach der ersten Spalte entwickeln. Dann erhalte ich zwei Determinanten:

$\begin{eqnarray*} (1-\lambda)\cdot \begin{vmatrix} 1-\lambda & ... & 1 \\ \lambda & ... & 0 \\ ... & ... & ... \\ 0 & ... & \lambda \end{vmatrix}-det \begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ \lambda & ... & 0 \\ ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & \lambda\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn mich nicht alles täuscht müssten das jeweils Dreiecksmatrizen sein. Das heißt, ich kann die Diagonalelemente miteinander multiplizieren. Bis hierhin aber erst einmal, ist das richtig was ich hier treibe? Beziehungsweise, hätte ich nicht auch direkt nach der Subtraktion die Determinante durch die Diagonaleinträge berechnen können also per Multiplikation?

Danke! smile

smile

08.07.2014, 21:28

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Determinante berechen
Du hast in der ersten Spalte deiner umgeformten Matrizen zwei Elemente stehen, es sind also im Allgemeinen keine Dreiecksmatrizen.
Hier ist man besser beraten, sich das Produkt Ax direkt anzuschauen.

09.07.2014, 12:46

Determinanterich

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Determinante berechen
Das fällt mir gerade auch auf. Wie meinst du denn ich soll mir Ax anschauen?

09.07.2014, 15:22

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch folgendermaßen rechnen:

1. Du addierst das Negative der vorletzten Zeile zur letzten, das Negative der drittletzten Zeile zur vorletzten und so weiter bis schließlich das Negative der ersten Zeile zur zweiten. Die erste Zeile bleibt also, im Rest der Matrix steht in der Hauptdiagonalen jetzt $\begin{eqnarray*} - \lambda \end{eqnarray*}$ , in der unteren Nebendiagonalen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und ansonsten Null.

2. Aus der zweiten bis letzten Zeile kannst du den Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ herausziehen, was insgesamt den Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda^{n-1} \end{eqnarray*}$ vor der Determinanten gibt. Aus $\begin{eqnarray*} \pm \lambda \end{eqnarray*}$ in der Determinanten wird dadurch $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ .

3. Jetzt addierst du alle Spalten von der zweiten bis zur letzten zur ersten Spalte dazu. Dadurch steht in der ersten Spalte ganz oben $\begin{eqnarray*} n-\lambda \end{eqnarray*}$ und sonst $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Du kannst also $\begin{eqnarray*} n-\lambda \end{eqnarray*}$ aus der ersten Spalte vor die Determinante ziehen. Die Determinante ist jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -frei, ihr Wert ist daher eine Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

Und für das charakteristische Polynom der Matrix hast du

$\begin{eqnarray*} \lambda^{n-1} (n-\lambda) \cdot c = (-c) \cdot \lambda^n + nc \cdot \lambda^{n-1} \end{eqnarray*}$

erhalten. Den Wert von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ kann man durch Nachdenken erschließen, die Determinante braucht gar nicht mehr berechnet zu werden (was aber auch nicht schwer wäre). Bei deiner Form des charakteristischen Polynoms ist nämlich $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} \lambda^n \end{eqnarray*}$ . Ein Koeffizientenvergleich mit dem Polynom oben führt auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} -c = (-1)^n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} c = (-1)^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Somit ist

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1} \lambda^{n-1} (n-\lambda) \end{eqnarray*}$

die gesuchte Determinante.

09.07.2014, 15:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Determinante berechen
Man könnte an das Ganze auch mit folgender Überlegung rangehen:

Die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & ... & 1 \\ ...& ... & ... & ... \\ 1 & 1 & ... & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat den Rang 1 und somit einen Kern mit Dimension n-1, der gleichzeitig auch einen Eigenraum darstellt.

Addiert man die Elemente in jeder Zeile, so beträgt die Summe jeweils n. Diese Form der Addition entspricht der Multiplikation mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ ... \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dies liefert uns noch einen weiteren Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor. smile

smile

09.07.2014, 15:51

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Argumentieren ist ja immer besser als rechnen.
Jetzt kann Determinanterich wählen.

Anzeige

09.07.2014, 20:52

Determinanterich

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt mal Leopolds weg gegangen da mir die Argumentation nicht wirklich klar ist.

Ich habe deine Rechnung erst einmal an einem Beispiel einer $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ Matrix durchgespielt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix müsste nun nach der Subtraktion folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1 \\ \lambda & -\lambda & 0 \\ 0 & \lambda & -\lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Rechnung verallgemeinert müsste es folgendermaßen aussehen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & ... & 1 \\ \lambda & -\lambda & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & ... & 0 \\ 0& ... & \lambda & -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt den Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ herausgezogen:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{n-1}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & ... & 1 \\ 1 & -1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & ... & 0 \\ 0& ... &1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie meinst du das denn jetzt mit den Spalten dazu addieren?

10.07.2014, 07:58

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Dir sollte klar sein, daß da überall noch Determinantenstriche stehen müssen. Es geht hier nicht um bloße Matrizen.

Zitat:

Original von Determinanterich
Wie meinst du das denn jetzt mit den Spalten dazu addieren?

Jetzt addierst du die zweite, dritte, vierte, ..., letzte Spalte zur ersten. Also alles nach vorne aufhäufen. Wobei "aufhäufen" hier fast überall "auslöschen" bedeutet. Nimm wieder erst das Beispiel mit der dreireihigen Matrix.

10.07.2014, 09:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Determinanterich
Ich bin jetzt mal Leopolds weg gegangen da mir die Argumentation nicht wirklich klar ist.

Und was genau ist dir nicht klar?

10.07.2014, 19:55

Determinanterich

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe dann die Matrix

$\begin{eqnarray*} \lambda^{n-1}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & ... & 1 \\ 1 & -1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & ... & 0 \\ 0& ... &1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und da solll ich jetzt alles in die erste Spalte addieren? verwirrt

verwirrt

Ich verstehe garnicht den Sinn was wieso ich das hier eigentlich so rechne. Nun gut ich versuche es mal, wird aber wohl falsch sein:

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{n-1}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & ... & 1 \\ 0 & -1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & ... & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also sind jetzt bis auf Zeile 1 in der ersten Spalte alle Null richtig?

11.07.2014, 01:46

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Sinn ist, dass du jetzt die Determinante (ohne Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \lambda^{n-1} \end{eqnarray*}$ ) nach der ersten Spalte trivial entwickeln kannst, da dort nur noch ein Element ungleich 0 ist. Also

$\begin{align*} \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 1& \cdots &1 &1\\ 1 & -1 & 0&\cdots & 0&0 \\ 0 & 1 & -1 &\cdots &0&0 \\ \vdots & \vdots & \ddots&\ddots & \vdots &\vdots \\ 0 & \cdots&\cdots &1 &-1 & 0 \\ 0 & 0&\cdots &0 &1 & -1 \end{vmatrix}&= \begin{vmatrix} n-\lambda & 1 & 1& \cdots &1 &1\\ 0 & -1 & 0&\cdots & 0&0 \\ 0 & 1 & -1 &\cdots &0&0 \\ \vdots & \vdots & \ddots&\ddots & \vdots &\vdots \\ 0 & \cdots&\cdots &1 &-1 & 0 \\ 0 & 0&\cdots &0 &1 & -1 \end{vmatrix}\\&= (n-\lambda)\begin{vmatrix} -1 & 0 &\cdots & 0&0 \\ 1 & -1 &\cdots &0&0 \\ \vdots & \ddots&\ddots & \vdots &\vdots \\ \cdots&\cdots &1 &-1 & 0 \\0&\cdots &0 &1 & -1 \end{vmatrix}\\&=(n-\lambda) (-1)^{n-1} \end{align*}$

11.07.2014, 08:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Determinanterich
Ich verstehe garnicht den Sinn was wieso ich das hier eigentlich so rechne.

Es besteht ja immer noch die Möglichkeit, sich auf meinen Vorschlag einzulassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.07.2014, 09:57

Determinanterich

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit, deine Argumentation verstehe ich allerdings auch nicht. Wie kommst du darauf das der $\begin{eqnarray*} dim(Kern)=n-1 \end{eqnarray*}$ ist wenn der Rang $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist?

Hallo RavenOnJ, damit hat man allerdings immer noch keine Eigenwerte/Eigenvektoren gefunden. Wie gehts dann weiter?

11.07.2014, 10:05

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Determinanterich

Hallo RavenOnJ, damit hat man allerdings immer noch keine Eigenwerte/Eigenvektoren gefunden. Wie gehts dann weiter?

Du hast das charakteristische Polynom und kannst daraus ganz einfach die EW bestimmen und die Dimension des Kerns. Dann weißt du auch, wieviel Eigenvektoren es gibt, was man allerdings auch schon am Rang der Matrix erkennen kann. Die EV kann man dann durch bloßes Hingucken schon sehen, denk ich mal.

11.07.2014, 10:15

Determinanterich

Auf diesen Beitrag antworten »

Für das charakteristische Polynom gilt dann ja: $\begin{eqnarray*} (n-\lambda)(-1)^{n-1}=0 \end{eqnarray*}$ also muss $\begin{eqnarray*} n=\lambda \end{eqnarray*}$ sein und das ist dann mein Eigenwert? Big Laugh

Big Laugh

11.07.2014, 10:29

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Determinanterich
Für das charakteristische Polynom gilt dann ja: $\begin{eqnarray*} (n-\lambda)(-1)^{n-1}=0 \end{eqnarray*}$ also muss $\begin{eqnarray*} n=\lambda \end{eqnarray*}$ sein und das ist dann mein Eigenwert? Big Laugh

Big Laugh

Da fehlt ja wohl noch was. Das Polynom ist vom Grad n.

11.07.2014, 10:34

Conan der Barbar

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du $\begin{eqnarray*} \lambda^n \end{eqnarray*}$ ist dann der Eigenwert?

11.07.2014, 11:43

Determinanterich

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das so?

11.07.2014, 12:04

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dich mal informieren, wie man aus dem charakteristischen Polynom die Eigenwerte erhält. Stichwort: Vielfachheit.

11.07.2014, 12:07

Determinanterich

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Wenn das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} (n-\lambda)(-1)^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist muss ich es Null setzen also:

$\begin{eqnarray*} (n-\lambda)(-1)^{n-1}=0 \end{eqnarray*}$ und die Nullstellen bestimmen.

Das wird doch genau dann Null wenn $\begin{eqnarray*} n-\lambda=0 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

11.07.2014, 12:10

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt guck dir den ganzen Thread nochmal an. Kurz vorher habe ich geschrieben, dass das char. Pol. Grad n hat. Noch weiter oben steht das Polynom eigentlich schon da.

11.07.2014, 12:15

Determinanterich

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich checks nicht, soll ich $\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1}n-\lambda^n(-1)^{n-1}=0 \end{eqnarray*}$ setzen?

11.07.2014, 12:18

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst lesen und dann verstehen. Ich werde dir jetzt nicht die (ganz einfache) Lösung präsentieren.

11.07.2014, 13:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Determinanterich
Hallo klarsoweit, deine Argumentation verstehe ich allerdings auch nicht. Wie kommst du darauf das der $\begin{eqnarray*} dim(Kern)=n-1 \end{eqnarray*}$ ist wenn der Rang $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist?

Das folgt aus dem hoffentlich bekannten Rangsatz: http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »