Unterraum

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Nicker7 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum
Meine Frage:
Halo,
ich habe volgendes Problem:

Überprüfen Sie, dass die Menge der Polynome

p(x)=ax²+bx+c mit p(1)=0 und p(-1)=0

ein Unterraum von P2(x) (Raum der Polynome vom Höchstgrad 2) ist. Bestimmen Sie ein Element dieses Unterraumes, das nicht das NUllpolynom ist.

Leider verstehe ich das Thema Unterraum nicht so ganz.


Meine Ideen:
Ich weiß dass die Vorraussetzungen wie folgt aussehen:
u+v element von U
z*u element von U

Für die erste Aufgabe habe ich folgenden Ansatz:

0= a+b+c für p(1)
0=a-b+c für p(-1)

=> a+c=b
=> 0=2a+2c => a=-c //*

0=2a+2c //*
0=2a+2a
0=0

Damit währe meiner Meinung nach der erste Punkt abgeharkt.
Für den zweiten benötige ich ein Skalar um dies zu beweisen. Entnehme ich aus der Aufgabenstellung dass 0<=z<=2 sein muss?
Und ein Element dieses Unterraumes wäre ja eigentlich jede Reele Zahl oder? Da sich die Funktion intern ja sowieso neutralisiert
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nun die wahre Aussage 0=0 erhalten, indem Du eine Gleichung in sich selbst eingesetzt hast. Bravo Augenzwinkern

Mit der Aufgabe hat das aber leider nichts zu tun. Es geht vielmehr darum, zu zeigen, dass der Nullvektor (also hier das Nullpolynom) in der betrachteten Menge enthalten ist und dass die Menge abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation mit einem Skalar ist.
Du kannst den von Dir angefangegen Weg gehen und Dir erst einmal einen Überblick über die Gestalt der Polynome verschaffen, indem Du die beiden Bedingungen (richtig) nutzt, um auf eine Unbekannte zu kommen. Alternativ kannst Du es aber auch zeigen, indem Du Dir überlegst, was bei diesen Polynomen anders ist, als bei einem beliebigen Polynom und nur diesen Unterschied in deine Betrachtungen einbeziehst.
Nicker7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich danke schonmal für die Hilfe.
Verstehe jetzt auch wieso das quatsch war was ich getan habe. Musste mir nochmal genau die Definition zu Unterräumen durchlesen.

Ich versuche mal von ganz vorne die Aufgabe richtig zu analysieren.

Ich soll für die Polynome zeigen dass sie ein Unterraum der Polynome mit dem Höchstgrad 2 sind.
Das heißt
P2(x)= ax²+bx+c

Dann gibt es die beiden Polynome
0=a1+b1+c1
0=a2-b2+c2

als Definition habe ich folgende bei Wikipedia gefunden:

Dabei werden die Vektorraumoperationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation von dem Ausgangsraum auf den Untervektorraum vererbt. Jeder Vektorraum enthält sich selbst und den Nullvektorraum als triviale Untervektorräume.

dh ich muss wie vorher erwähnt überprüfen ob das Nullpolynom enthalten ist und ob die enthaltene Menge bezüglich Addition und Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen ist.

Fange ich an indem ich die bedingungen überprüfe:

0=a+b+c
0=a-b+c

Daraus folgere ich dass b=0 ist oder?
dh meine unbekannte ist

0=a+c
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit richtig und was bedeutet das nun für a (bzw. c) ?
Welche Gestalt haben also alle Polynome der betrachteten Menge?

Wenn Du das herausgefunden hast, fängst Du an die drei Kriterien zu prüfen.
Nicker7 Auf diesen Beitrag antworten »

gut (wenn das nicht richtig gewesen wäre hätte ich echt keine ahnung gehabt wie ich weiter machen hätten sollen^^)

das bedeutet dann a =-c oder auch a ist das komplimentäre zu c

aber dann würe bei den kriterium folgendes herraus kommen (ich vermute):

nullpolynom
0=0+0 w.A.

Addition

(a1+a2)x²+0+(-a1-a2)=0
x²=0

da ich mal glaube das ist falsch warte ich noch mit dem versuch für die multiplikation
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso willst Du immer auf eine Gleichung mit 0 heraus?
Du hast jetzt gezeigt, dass alle Polynome der betrachteten Menge die Form p(x)=ax²+bx+c mit b=0 und a=-c haben. Wir können die Menge also auch folgendermassen aufschreiben:

Nun musst Du zeigen:




 
 
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