Frage zum Kreuzprodukt (Vektoren)

10.07.2014, 22:32

Katzenjoe1

Frage zum Kreuzprodukt (Vektoren)

Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht so recht weiß wie ich da herangehen soll.

Geben Sie zu den Vektoren a und c einen beliebigen Vektor b an,
so dass a x b = c gilt

(Das x steht für Kreuzprodukt)

mit a = 3,1,1 und b = -2,-1,7

Meine Ideen:
mein ansatz wäre nun erstmal die Gleichung für das Kreuzprodukt zu einem LGS zu machen sprich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann nach x y und z aufzulösen.

oder gibt es noch einen eleganteren weg dahin zu kommen?

randbed. sind ja das b orthagonal zu c ist also skalarprodukt =0
und b nicht in einer geraden mit a liegt

Edit (mY+): LaTeX berichtigt, Tags eingefügt.

10.07.2014, 22:39

Dopap

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RE: Frage zum Kreuzprodukt (Vektoren)

Zitat:

Original von Katzenjoe1

Geben Sie zu den Vektoren a und c einen beliebigen Vektor b an,
so dass a x b = c gilt

(Das x steht für Kreuzprodukt)

mit a = 3,1,1 und b = -2,-1,7

Könntest du das nochmal überarbeiten.

10.07.2014, 22:59

Katzenjoe

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Sry nochmal:

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht so recht weiß wie ich da herangehen soll.

Geben Sie zu den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c}= \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ an,

so dass $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \end{eqnarray*}$ gilt

mein ansatz wäre nun erstmal die Gleichung für das Kreuzprodukt zu einem LGS zu machen sprich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann nach x y und z aufzulösen.

oder gibt es noch einen eleganteren weg dahin zu kommen?

randbed. sind ja das b orthagonal zu c ist also skalarprodukt =0
und b nicht in einer geraden mit a liegt

10.07.2014, 23:15

Jayk

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Ich würde $\begin{eqnarray*} \vec b = \lambda (\vec a \times \vec c ) \end{eqnarray*}$ versuchen und lambda passend wählen.

10.07.2014, 23:26

Katzenjoe

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Zitat:

Original von Jayk
Ich würde $\begin{eqnarray*} \vec b = \lambda (\vec a \times \vec c ) \end{eqnarray*}$ versuchen und lambda passend wählen.

das klingt verdammt elegant Freude

Frage wäre jetzt wie ich Lambda so wähle das die Probe aufgeht.

11.07.2014, 00:14

Dopap

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Zitat:

Original von Katzenjoe
Die Frage wäre jetzt wie ich Lambda so wähle, daß die Probe aufgeht.

ist der Unterschied zwischen daß und das nicht mehr bekannt ? Scheint inzwischen so zu sein.

11.07.2014, 00:30

Katzenjoe

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ok mit dem wählen ist ja dann eig. nicht viel da ja die richtung von b schon dadurch gegeben ist, das er orthagonal auf a und c steht.

d.h. die richtung hat man quasi nun vorgegeben und man muss nur noch durch lambda auf die richtige länge kommen, damit er die gleichung in der Frage erfüllt.

als Kreuzprodukt von a und c erhält man $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ -23 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \lambda \begin{pmatrix} 8 \\ -23 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8 \lambda \\ -23 \lambda \\ -1 \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann man jetzt eine gleichung bzw. Zeile des Kreuzproduktes nehmen und sie nach lambda auflösen

zb.

$\begin{eqnarray*} (1\cdot -1\lambda ) - (1 \cdot -23\lambda) = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 22\lambda = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = -\frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

das ergibt dann $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -\frac{8}{11} \\ \frac{23}{11} \\ \frac{1}{11} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Probe geht damit auf.

gibts vielleicht noch eine möglichkeit wie nicht unbedingt brüche dabei herauskommen?

Zitat:

ist der Unterschied zwischen daß und das nicht mehr bekannt ? Scheint inzwischen so zu sein.

Ich wusste ja garnicht das hier das Deutschforum ist.
Auch: Haste noch was inhaltliches beizutragen oder einfach nur Spaß am trollen? Tanzen

11.07.2014, 00:57

mYthos

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Deinen ersten Ansatz kannst du durchaus auch weiterverfolgen.
Denn es ist nicht gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ auch auf $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ normal stehen muss, wohl aber auf $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ und es gilt auch $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ normal auf $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ .

So kommt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z-y \\ x-3z \\ 3y-x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das daraus resultierende System ist abhängig, daher kann eine Variable mit einem Parameter belegt werden: z = t, dann ist y = t + 2 und x = 3t - 1.

Durch Einsetzen von t können nun beliebige Lösungsvektoren bestimmt werden, z.B. mit t = 1 ist b = (2; 3; 1)T

$\begin{eqnarray*} \vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

11.07.2014, 01:02

Dopap

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Zitat:

Original von Katzenjoe
Ich wusste ja garnicht das hier das Deutschforum ist.
Auch: Haste noch was inhaltliches beizutragen oder einfach nur Spaß am trollen? Tanzen

Ich wusste gar nicht, daß hier das Deutschforum ist.
Hast du noch was Inhaltliches...

gib dir einfach ein wenig Mühe beim Schreiben Augenzwinkern

11.07.2014, 01:24

mYthos

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Zitat:

Original von Jayk
Ich würde $\begin{eqnarray*} \vec b = \lambda (\vec a \times \vec c ) \end{eqnarray*}$ versuchen und lambda passend wählen.

Das ergibt aber nur EINE der möglichen unendlich vielen Richtungen des Lösungsvektors. Und damit setzt du die Orthogonalität von $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ voraus, die aber nicht gegeben ist.

mY+

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