Lineare Abbildung - Matrix invertieren (Verständnisfrage)

11.07.2014, 14:36

point88

Lineare Abbildung - Matrix invertieren (Verständnisfrage)

Meine Frage:
Hallo allerseits,

momentan übe ich für meine Lineare Algebra Klausur und bräuchte einen Denkanstoß.

Gegeben sei: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^{3} \Rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ , eine Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^{3,3} \end{eqnarray*}$ und eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f(x)=Ax \end{eqnarray*}$

Nun soll ich $\begin{eqnarray*} f^{-1}((0,5,-3)^{T}) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Ideen:
Bedeutet das für mich, dass ich folgenden Zusammenhang schließen kann?
$\begin{eqnarray*} f((0,5,-3))=Ax\Leftarrow\Rightarrow f^{-1}((0,5,-3)^{T})=A^{-1}x \end{eqnarray*}$

oder gilt in diesem Kontext, dass ich $\begin{eqnarray*} (Ax)^{-1} \end{eqnarray*}$ rechnen muss?

Falls meine erste Idee richtig ist, kann ich dann einfach die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ invertieren und danach $\begin{eqnarray*} A^{-1}x \end{eqnarray*}$ ausrechnen ?

Letzteres würde mich nämlich auch stark irritieren, da ich nicht wüsste wie ich einen $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3,1} \end{eqnarray*}$ Vektor nach der Multiplikation invertieren sollte.

Mit dem Invertieren von Matrizen kenne ich mich aus,das sollte nicht Problem der Aufgabe sein. Es geht hier zwar um Kleinigkeit,aber in der Klausur kann das viele Punkte kosten.

Über Hilfe freue ich mich sehr.

Gruß
point88

11.07.2014, 15:00

RavenOnJ

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RE: Lineare Abbildung - Matrix invertieren (Verständnisfrage)
Was ist denn, wenn (0,5,-3) gar nicht im Bild von f liegt?

11.07.2014, 18:21

point 88

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RE: Lineare Abbildung - Matrix invertieren (Verständnisfrage)

Zitat:

Original von RavenOnJ
Was ist denn, wenn (0,5,-3) gar nicht im Bild von f liegt?

Ehrlich gesagt, weiß ich nicht, warum es nicht im Bild liegen sollte. Wir befinden uns doch jeweils beim Definitions- und Wertebereich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\in \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ ... Oder verstehe ich etwas falsch ? verwirrt

11.07.2014, 19:45

RavenOnJ

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RE: Lineare Abbildung - Matrix invertieren (Verständnisfrage)
Die Frage ist, wie du "Wertebereich" definierst. Meinst du die Zielmenge oder die Bildmenge? f ist zwar so definiert, $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3\to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , d.h. aber nicht, dass jeder Wert in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ auch zur Bildmenge gehört, dass also f surjektiv ist. f kann sogar so definiert sein, dass die Bildmenge nur aus der Null besteht.

12.07.2014, 16:59

point88

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RE: Lineare Abbildung - Matrix invertieren (Verständnisfrage)

Zitat:

Original von RavenOnJ
Die Frage ist, wie du "Wertebereich" definierst. Meinst du diie Zielmenge oder die Bildmenge? f ist zwar so definiert, $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3\to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , d.h. aber nicht, dass jeder Wert in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ auch zur Bildmenge gehört, dass also f surjektiv ist. f kann sogar so definiert sein, dass die Bildmenge nur aus der Null besteht.

Okay, nimm es mir nicht übel,aber so ganz verstehe ich dein Anliegen nicht traurig

Woher soll ich denn wissen, ob sich mein gegebener Vektor in der Bildmennge befindet? Ich würde doch nach dem einsetzen von x eine Mukltiplikation rechnen und habe einen ganz anderen Wert. Vielleicht hätte ich gleich die zugöhrigen Werte von A mit dazu schreiben sollen. Kann ja sein, dass das noch hilft...
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -4 \\ 3 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann ich denn ganz unabhänig von dem Vektor diesen Sachverhalt erschließen?
$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=Ax\Leftarrow\Rightarrow f^{-1}(x)=A^{-1}x<br /> \end{eqnarray*}$

12.07.2014, 17:26

RavenOnJ

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RE: Lineare Abbildung - Matrix invertieren (Verständnisfrage)
Es kommt drauf an, welchen Rang A hat. Hat A maximalen Rang, hier also 3, dann ist der Vektor mit Sicherheit in der Bildmenge. Hat A aber nicht maximalen Rang, dann ist A nicht invertierbar und die Bildmenge ist ein echter Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Der Vektor $\begin{eqnarray*} v_1=(0,5,-3) \end{eqnarray*}$ muss nicht zu diesem Unterraum gehören. Aber selbst wenn er zu diesem Unterraum gehört, ist das Urbild nicht eindeutig, da du einen beliebigen Vektor aus dem dann nicht-trivialen Kern von A dazu addieren kannst.

Konkret: Sei $\begin{eqnarray*} Aw_1 = v_1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch für alle Vektoren aus dem Kern von A
$\begin{eqnarray*} \forall k\in \operatorname{Kern}(A):A(w_1 + k) = Aw_1 +0= v_1 \end{eqnarray*}$

Bestimme also erst mal den Rang von A. Oder ist bekannt, dass die Matrix invertierbar ist?

12.07.2014, 17:44

point88

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RE: Lineare Abbildung - Matrix invertieren (Verständnisfrage)

Zitat:

Original von RavenOnJ
Es kommt drauf an, welchen Rang A hat. Hat A maximalen Rang, hier also 3, dann ist der Vektor mit Sicherheit in der Bildmenge. Hat A aber nicht maximalen Rang, dann ist A nicht invertierbar und die Bildmenge ist ein echter Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Der Vektor $\begin{eqnarray*} v_1=(0,5,-3) \end{eqnarray*}$ muss nicht zu diesem Unterraum gehören. Aber selbst wenn er zu diesem Unterraum gehört, ist das Urbild nicht eindeutig, da du einen beliebigen Vektor aus dem dann nicht-trivialen Kern von A dazu addieren kannst.

Konkret: Sei $\begin{eqnarray*} Aw_1 = v_1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch für alle Vektoren aus dem Kern von A
$\begin{eqnarray*} \forall k\in \operatorname{Kern}(A):A(w_1 + k) = Aw_1 +0= v_1 \end{eqnarray*}$

Bestimme also erst mal den Rang von A. Oder ist bekannt, dass die Matrix invertierbar ist?

Das hilft mir schon mehr auf die Sprünge smile

Es ist nicht explizit in der Aufgabe genannt, ob A invertierbar ist, aber Sie sollte es sein, da $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -4 \\ 3 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow (ZSF) \begin{pmatrix} 2 & 2 & -4 \\ 0 & -1 & 6 \\ 0 & 0 & -13 \end{pmatrix} \Rightarrow Rang(A) = 3 \Rightarrow A invertierbar \end{eqnarray*}$

Der Kern der Matrix sollte, doch nur den Nullvektor enthalten, oder irre ich mich? Daher kann ich doch schließen, dass die Matrix injektiv ist, oder ? Wie bestimmt man aber noch mal Surjektivität ? verwirrt

12.07.2014, 18:40

RavenOnJ

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RE: Lineare Abbildung - Matrix invertieren (Verständnisfrage)
Wenn A maximalen Rang hat, dann ist der Kern trivial 0. Die Matrix ist also invertierbar. Automorphismen von endlich-dimensionalen Vektorräumen sind bijektiv, die Abbildungsmatrix ist regulär, d.h. invertierbar. Allgemeiner gilt: Eine lineare Abbildung eines endlichen Vektorraums auf sich selbst (Endomorphismus) ist genau dann injektiv ist, wenn sie surjektiv ist.

Es handelt sich hier also um einen Automorphismus und du musst das Inverse von A berechnen.

18.07.2014, 21:33

point88

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Danke für die Hilfe , das hat mir wirklich weitergeholfen ! smile

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