T ist Rechtsransversale genau dann, wenn T^-1 Linkstransversale ist

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MartinL Auf diesen Beitrag antworten »
T ist Rechtsransversale genau dann, wenn T^-1 Linkstransversale ist
Moin,

meine Aufgabe lautet folgendermaßen:

Sei G eine Gruppe mit Untergruppen A und B. Zeige, T ist Rechtstransversale von A in G genau dann, wenn Linkstransversale von A in G ist.

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Ich habe verstanden, was eine Linkstransversale ist und was eine Rechtstransversale ist aber ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich da herangehen soll. Irgendwie bekomme ich den Bezug zum Inversen nicht hin. Ich weiß, dass alle Nebenklassen paarweise entweder disjunkt oder gleich sind und ich weiß, dass G die disjunkte Vereinigung ist. Könnt ihr mir einen kleinen Schubs in die richtige Richtung geben?

Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: T ist Rechtsransversale genau dann, wenn T^-1 Linkstransversale ist
Wenn Rechtstransversale und , dann können sie nicht zur selben Rechtsnebenklasse gehören. Ebenso können nicht zur selben Linksnebenklasse gehören, wenn Linkstransversale. Zeige also für :



oder äquivalent

 
 
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: T ist Rechtsransversale genau dann, wenn T^-1 Linkstransversale ist
Ich glaub ich habs smile .

Ich probiers mit


Zuerst zeig ichs von links nach rechts.
Dazu sei:

Jetzt probiere ich es per Widerspruch. Ich nehme also an, dass es in diesem Fall ein a aus A gibt mit






Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme und deshalb gilt schon mal:


Die andere Richtung dürfte jetzt aber ziemlich identisch sein, deshalb spar ich es mir mal, das hier hinzuschreiben. Falls das stimmt, bin ich wieder ein Stückchen weiter gekommen smile Danke dir.

Gruß
Martin
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: T ist Rechtsransversale genau dann, wenn T^-1 Linkstransversale ist
Ich glaub ich habs smile .

Ich probiers mit


Zuerst zeig ichs von links nach rechts.
Dazu sei:

Jetzt probiere ich es per Widerspruch. Ich nehme also an, dass es in diesem Fall ein a aus A gibt mit






Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme und deshalb gilt schon mal:


Die andere Richtung dürfte jetzt aber ziemlich identisch sein, deshalb spar ich es mir mal, das hier hinzuschreiben. Falls das stimmt, bin ich wieder ein Stückchen weiter gekommen smile Danke dir.

Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: T ist Rechtsransversale genau dann, wenn T^-1 Linkstransversale ist
Du verstehst möglicherweise nicht, was bedeutet. Dies ist definiert als . Es ist eine bestimmte Teilmenge von G, die Rechtsnebenklasse von A nach x. Wenn du also den Durchschnitt mit einer Rechtsnebenklasse bildest, dann heißt das nicht, dass für die Elemente im Durchschnitt gilt. Es heißt nur, dass es Elemente gibt, sodass gilt. Diese Gleichung kannst du mit von links multiplizieren und du erhältst

.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, meine Folgerung war nicht richtig. Die Definition hatte ich zwar so wie von dir genannt im Kopf aber geholfen hats scheinbar nicht. Richtig wäre die Folgerung aber, wenn ich sie umformuliere in:



So müsste es passen oder? Es soll zumindest heißen, dass ich zu keinem a1 aus A ein a2 aus A finde, mit a1x = a2y.

Damit komme ich dann auch zum gleichen Ergebnis wie du. Naja, hilft wohl nicht, ich werde einfach weiter eine Aufgabe nach der andern durchrechnen und bis zum 22. kann ich hoffentlich genug, um mindestens eine 4.0 in der Klausur zu erreichen Augenzwinkern

Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein Beweis. Du sollst


oder äquivalent


beweisen. Letzteres halte ich für etwas einfacher. Ich mach's mal:





MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich mich glaub ich missverständlich ausgedrückt. Den Beweis hab ich an sich schon nachvollziehen können. Ich wollte nur noch mal meine alte Folgerung, die ja falsch war, der neuen gegenüberstellen. Einfach um zu prüfen, ob ich das mit den Nebenklassen richtig kapiert hab.

Ich hatte ja zuerst:


Das war ja falsch weil es ja auch ein b aus A geben könnte mit ax = by, dann wäre der Schnitt auch nicht leer.

Also neue Folgerung:


Sei also
Angenommen es gibt a1 und a2 in A mit
Dann gilt:





Da aber ist das ein Widerspruch und deshalb kann das nicht sein und es gilt:

Rückrichtung geht dann genau so.

Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so geht's auch. Freude Vielleicht solltest du dir noch Gedanken machen, warum die beiden Beweiswege äquivalent sind und warum sie die ursprüngliche Behauptung beweisen. Dies ist ja nicht gerade offensichtlich.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich mal an Teil b) versucht und glaube, dass ich zumindest den richtigen Gedanken habe. Ich muss mir noch ein bisschen überlegen, wie ich das schön aufschreibe. Die Aufgabe ist folgende:

Sei A eine Untergruppe von B und B eine Untergruppe von G also .
Sei Rechtstransversale von A in B
Sei Linkstransversale von B in G

Zu zeigen: ist Rechtstransversale von A in G.

Ich habe mir überlegt, dass es ausreicht, zwei Dinge zu zeigen.
  1. Für gilt
  2. G ist die disjunkte (gegeben durch 1.) Vereinigung aller Rechtsnebenklassen


Zuerst mal 1.:
Ich nehme mir einfach mal und schaue mir an, wie der Schnitt über die Nebenklassen aussieht. Dabei kann ich ja x1 und x2 auch in der Form schreiben. Damit ergibt sich:


Es gilt aber, da T1 eine Rechtsnebenklasse von A in B ist, und . Dabei sind diese beiden Teilmengen genau dann identisch, wenn t1 = u1 ist, ansonsten ist der Schnitt der beiden Teilmengen leer.



Da aber T2 eine Rechtsnebenklasse von B ist, ist der obige Schnitt immer leer, außer wenn B1 = B2 und t2 = u2 ist. Das widerspräche aber der Voraussetzung, dass x1 ungleich x2 sein soll.
Meiner Meinung nach habe ich damit gezeigt, dass der Schnitt ist.

Also noch 2. zu zeigen. Die Vereinigung. Da ist meiner Meinung nach gar nicht so viel zu tun. Wenn man sich die Vereinigung über alle anschaut, dann ist das doch, da T1 eine Rechtsnebenklasse von A in B ist, nichts anderes, als die Vereineigung über alle und da T2 eine Rechtsnebenklasse von B in G ist, ist die Vereinigung wieder komplett G.

Ich hoffe, dass man langsam einen Fortschritt erkennen kann smile .

Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib das mal mathematisch sauber und stringent auf. Beispielsweise ist keine Aussage. Bitte auch weniger Beiwerk (damit meine ich Satzstücke wie "meiner Meinung nach" etc.). So was ist schwer zu lesen, zumindest für mich.

Übrigens hast du nirgendwo berücksichtigt, dass Linkstransversale ist. Oder soll sie doch eher Rechtstransversale sein?
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt und Stimmt. Hier ein neuer und hoffentlich fehlerfreier Versuch. Ich versuche auch, ohne Beiwerk auszukommen.

Aufgabe:
Sei A eine Untergruppe von B und B eine Untergruppe von G also .
Sei Rechtstransversale von A in B.
Sei Rechtstransversale von B in G.

Zeige: ist Rechtstransversale von A in G.

Lösung:
Zu zeigen sind zwei Dinge:
  1. Für gilt
  2. G ist die Vereinigung aller (nach 1. disjunkten) Rechtsnebenklassen


1.) Seien Aufgrund der Form von T lassen sich x1 und x2 in folgender Form schreiben:



Damit ergibt sich: .
Da T1 eine Rechtstransversale von A in B ist, gilt


Insbesondere ist

Einsetzen ergibt:
.
Da aber T2 eine Rechtstransversale von B in G ist, ist der obige Schnitt immer leer, außer wenn B1 = B2 UND t2 = u2 ist. Das widerspricht aber der Vorraussetzung .
Daraus folgt, dass für alle gilt:

2.)
Die Vereinigung über alle
ist aber, da T1 eine Rechtstransversale von A in B ist, genau die Vereinigung über alle und das ist, da T2 Rechtstransversale von B in G ist, wieder ganz G.


Ich hoffe, dass es jetzt lesbarer ist. Ich finde es fürchterlich unübersichtlich so etwas abzutippen.

Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Bisschen umständlich, aber so geht's. Du hättest 2. auch mit einem Zweizeiler machen können:



da Rechtstransversale von in und Rechtstransversale von in .

Teil 1 der Aufgabe folgt daraus.

Anderer Weg: Man kann mit Mächtigkeiten argumentieren. Es ist



Außerdem und , sowie .
Es gilt nun für alle Elemente aus :



d.h. . Also muss gelten

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