Basiswechsel - darstellende Matrix Skalarprodukt

13.07.2014, 16:00

Matheneuling1991

Basiswechsel - darstellende Matrix Skalarprodukt

Gegeben sei die darstellende Matrix A eines Skalarprodukts oder allgemeiner einer Bilinearform bzgl. der Einheitsvektoren und man will die datstellende Matrix der Bilinearform bzgl. einer neuen Basis:
Sagen wir, wir sind im R^3 und haben deswegen als neue Basis v1,v2,v3: Dann ist V die Matrix (v1,v2,v3) und die darstellende Matrix bzgl dieser Basis ist:

$\begin{eqnarray*} A_{neu}=V^t*A*V \end{eqnarray*}$

Wie ist das nun aber, wenn man aber die darstellende Matrix bzgl einer Basis v1,v2,v3 hat und man will die darstellende Matrix bzgl der Einheitsvektoren?

13.07.2014, 16:08

bijektion

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Wenn $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ das Skalarprdukt eines euklidischen VR ist, dann gilt mit der einer Basis $\begin{eqnarray*} \mathrm{B} \end{eqnarray*}$ und der neuen Basis $\begin{eqnarray*} \mathrm{C} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} M_{\mathrm{C}}(s)=M_C^B(\mathrm{id})^T\cdot M_B(s)\cdot M_C^B(\mathrm{id}) \end{eqnarray*}$ .
In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{B} \end{eqnarray*}$ die Standardbasis und $\begin{eqnarray*} \mathrm{C}=\left\{v_1,v_2,v_3\right\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie ist das nun aber, wenn man aber die darstellende Matrix bzgl einer Basis v1,v2,v3 hat und man will die darstellende Matrix bzgl der Einheitsvektoren?

Dann wähle $\begin{eqnarray*} \mathrm{C} \end{eqnarray*}$ die Standardbasis, und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist die gegebene.

13.07.2014, 16:25

Matheneuling1991

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Das sieht in der Tat sehr identisch mit der Notation in Büchern aus;

Dazu aber zwei Fragen; Du benutzt das Wort Skalarprodukt; Ist dies denn auch bei einer Bilinearform so anwendbar?
Und die wahscheinlich wichtigere Frage: Wie berechne ich eine Transformationsmatrix?

$\begin{eqnarray*} M_C^B(\mathrm{id}) \end{eqnarray*}$

ist offensichtlich nur C, wenn B die Basis bestehend aus Einheitsvektoren ist.. Wie berechnet man es sonst?

Sei z.b. die darstellende Matrix eines Skalarprodukts:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzgl. der Basis
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich jetzt zurück zur darstellenden Matrix bzgl den Einheitsvektoren?
Kannst du mir das kurz zeigen? Wäre echt super nett... smile

Sorry fürs Editen: Ich habe das allzu schlampig geschrieben und habs überarbeiten müssen..

13.07.2014, 16:34

bijektion

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Zitat:

Dazu aber zwei Fragen; Du benutzt das Wort Skalarprodukt; Ist dies denn auch bei einer Bilinearform so anwendbar?

Ja, Skalarprodukt nur, da du es darauf eingeschränkt hast.

Zitat:

ist offensichtlich nur C, wenn B die Basis bestehen aus Einheitsvektoren ist.. Wie berechnet man es sonst?

Sei $\begin{eqnarray*} \mathrm{B}=\left\{ v_1,\dots ,v_n\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{C}=\left\{ w_1,\dots ,w_n\right\} \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es Zahlen $\begin{eqnarray*} a_{ij}\in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \mathrm{id}(w_k)=\sum_{\nu=1}^n a_{\nu k}\cdot v_{\nu} \end{eqnarray*}$ , es ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} M_C^B(\mathrm{id})=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \end{eqnarray*}$ .

13.07.2014, 17:19

Matheneuling1991

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Gut, d.h. ich will praktisch die neuen Vektoren der neuen Basis durch die alten Vektoren darstellen;

Also ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}= a_{11}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+a_{21}*\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}= a_{12}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+a_{22}*\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

woraus sich ergibt, dass

$\begin{eqnarray*} T^B_E(id)=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}& \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder was äquivalend dazu ist, was ich gelesen habe: Sei E die Basis bestehend aus Eigenvektoren und B die bekannte Basis, dann ist:

$\begin{eqnarray*} T^B_E(id)= B^{-1}*E=B^{-1} \end{eqnarray*}$

Nun eine abschließende Frage: Bei linearen Abbildungen läuft der Basiswechsel genau gleich ab, nur wird nicht mit der Transponierten gerechnet, sondern mit der Inversen, richtig? Also wenn wir eine Matrixdarstellung A bzgl. der Einheitsvektoren haben und wir wollen die Darstellung bzgl, der Vektoiren v1,...

Dann ist die neue Matrix:

$\begin{eqnarray*} A_{neu}= T^E_V(id)^{-1}*A*T^E_V(id) \end{eqnarray*}$

Die Transformationsmatrizen werden dabei aber gleich wie beim Skalarprodukt berechnet, richtig? smile

15.07.2014, 08:51

bijektion

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Zitat:

Oder was äquivalend dazu ist, was ich gelesen habe: Sei E die Basis bestehend aus Eigenvektoren und B die bekannte Basis, dann ist: $\begin{eqnarray*} T^B_E(id)= B^{-1}*E=B^{-1} \end{eqnarray*}$

Äquivalent, und das verstehe ich nicht ganz.

Ich weiß nicht was genau du mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ meinst.

Zitat:

Die Transformationsmatrizen werden dabei aber gleich wie beim Skalarprodukt berechnet, richtig? smile

Ja.

15.07.2014, 09:59

RavenOnJ

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ sein? Vektoren haben kein Inverses und Basen von Vektorräumen auch nicht.

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