Zeigen, dass Abbildung Epimorphismus ist (Nebenklassen)

14.07.2014, 14:02

MartinL

Zeigen, dass Abbildung Epimorphismus ist (Nebenklassen)

EDIT: Bin ich doof. Epimorphismen müssen ja nur surjektiv, gar nicht injektiv sein. Bin im Skript verrutscht, wir haben das etwas komisch aufgeschrieben. Wahrscheinlich ist meine Verwirrung unten dann gerechtfertigt und ihr könnt euch das Lesen sparen Augenzwinkern

Moin,

ich hänge schon wieder. Gegeben ist eine Gruppe G sowie eine Untergruppe U von G und ein Normalteiler N von G. Ferner sei eine Abbildung definiert durch:

$\begin{eqnarray*} \alpha: U \rightarrow (UN)/N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u \rightarrow uN \end{eqnarray*}$

Ich soll nun zeigen, dass alpha ein Epimorphismus mit $\begin{eqnarray*} Kern(\alpha) = U \cap N \end{eqnarray*}$ ist.

Zuerst mal möchte ich zeigen, dass alpha ein Epimorphismus ist. Dazu zeige ich zuerst, dass alpha ein Homomorphismus ist. Das habe ich mit einem Satz aus der Vorlesung geschafft. Jetzt möchte ich zeigen, dass alpha injektiv ist. Dazu wollte ich mir zwei Elemente aus U herausnehmen und zeigen, dass die Elemente gleich sein müssen, wenn die Bilder der Elemente gleich sind.

Seien also $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha(u_1)=\alpha(u_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha(u_1)=\alpha(u_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow u_1N=u_2N \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich aber nicht weiter. Theoretisch könnte doch N eine Teilmenge von U sein. Dann könnten u1 und u2 zwei unterschiedliche Elemente aus N sein und damit wären die Nebenklassen gleich. Es würde also gelten: $\begin{eqnarray*} u_1 \neq u_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1N=u_2N \end{eqnarray*}$ . Das kann aber ja nicht sein. Also muss dieser Fall durch die Vorrausetzungen irgendwie ausgeschlossen sein. Es kann aber auch sein, dass ich etwas ganz falsch verstanden habe. Ich wäre euch wieder einmal sehr dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen würde. Das ganze kommt mir ein wenig komisch vor, weil ja der Kern dann auch nur ein Element enthalten darf (wegen der Injektivität). Dafür dürfte aber der Schnitt von N und U nur ein Element enthalten und ich weiß beim besten Willen nicht, wie das aus der Aufgabenstellung bzw. den Vorgaben hervorgehen soll unglücklich

Gruß
Martin

15.07.2014, 09:18

RavenOnJ

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RE: Zeigen, dass Abbildung Epimorphismus ist (Nebenklassen)
Das mit der Injektivität bekommst du mit Sicherheit im Allgemeinen nicht hin. Die Surjektivität dürfte offensichtlich sein. Es geht aber vor allem darum zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist. Dazu musst du die Normalteilereigenschaft von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ benutzen.

Zur Frage des Kerns: Offenbar sind alle Elemente im Kern auch in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , denn das Bild des Kerns ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

15.07.2014, 10:53

MartinL

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Ja, wenn ich die Injektivität rausnehme (die ja eigentlich nie rein sollte) kommt es hin. Ich hätte den Beitrag auch direkt gelöscht aber ich glaube, dass das gar nicht geht. Ich hab zumindest auf anhieb keine Möglichkeit gefunden.

Gruß
Martin

15.07.2014, 12:21

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MartinL
Ja, wenn ich die Injektivität rausnehme (die ja eigentlich nie rein sollte) kommt es hin. Ich hätte den Beitrag auch direkt gelöscht aber ich glaube, dass das gar nicht geht. Ich hab zumindest auf anhieb keine Möglichkeit gefunden.

Was kommt hin? Dein "Beweis" ist mindestens unvollständig.

Beiträge löschen geht nicht. Das können nur bestimmte, dazu befugte Leute. Es gibt aber auch keinen Grund, den Beitrag zu löschen. Du hast in deinem Lösungsansatz einfach mssverstanden, worum es in der Aufgabe geht.

15.07.2014, 12:34

MartinL

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Ja, ich habe einfach im Kopf gehabt, dass ein Epimorphismus ein bijektiver Homomorphismus ist. Deshalb habe ich versucht die Injektivität zu zeigen, was ja im Allgemeinen gar nicht möglich ist. Nachdem ich das gemerkt hatte, konnte ich den Beweis führen. Ich hab das dann nur nicht mehr hier gepostet, sondern oben drüber geschrieben, dass sich das Problem erledigt hat. Deshalb wollte ich den Beitrag auch löschen, das hätte dir den Aufwand gespart mir hier auch noch helfen zu müssen Augenzwinkern

.

Hier noch mal der Beweis schnell aufgeschrieben:

1. Surjektivität ist wie gesagt relativ offensichtlich

2. Alpha ist Homomorphismus denn für $\begin{eqnarray*} x,y \in U \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \alpha(xy) = (x*y)N = xN*yN = \alpha(x)*\alpha(y) \end{eqnarray*}$ . Das gilt, weil N ein Normalteiler ist. Das man deshalb (xy)N auseinanderziehen kann zu xN*yN haben wir in der Vorlesung gezeigt.

3. Der Kern von Alpha enthält alle Elemente, die von Alpha auf das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} G \backslash N \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Das neutrale Element ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} x \in U \cap N \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha(x) = xN = N \end{eqnarray*}$ , da x im Schnitt von U und N und somit in N liegt.
Sei $\begin{eqnarray*} x \in Kern(\alpha) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \alpha(x) = xN = N \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, dass x in N liegt und da x aus U gewählt ist, liegt x in U und in N und somit im Schnitt. Damit ist gezeigt, dass U geschnitten N im Kern liegt und der Kern in U geschnitten N. Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} Kern(\alpha) = U \cap N \end{eqnarray*}$

Gruß
Martin

15.07.2014, 13:12

RavenOnJ

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