Zentrum einer Gruppe und Automorphismen

14.07.2014, 21:23	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentrum einer Gruppe und Automorphismen Moin, nachdem meine letzte Frage ja blo aufgrund meiner eigenen Dummheit hier gelandet ist, habe ich jetzt wieder ein "wirkliches" Problem. Die Aufgabe ist folgende: Sei G eine Gruppe und Z(G) das Zentrum von G. Das haben wir definiert als: $\begin{eqnarray} Z(G) := C_G(G) = \{g \in G \ \| \ g^k = g \ \ \forall \ k \in G \} \end{eqnarray}$ Zeige: 1) Z(G) ist Normalteiler von G 2) $\begin{eqnarray} \alpha(Z(G)) = Z(G) \ \ \forall \alpha \in Aut(G) \end{eqnarray}$ Also für alle bijektiven Homomorphismen von G nach G bleiben Elemente aus dem Zentrum nach Abbildung wieder im Zentrum. 1) Gilt ja schon nahezu per Definition. Jedes Element aus dem Zentrum konjugiert mit beliebigen Elementen aus G landet wieder im Zentrum. Eine Gruppe ist das Zentrum auch. Es ist abgeschlossen bzgl. Verknüpfung zweier Elemente und auch abgeschlossen bzgl. der Inversenbildung. Das führe ich hier mal nicht weiter aus, das kann ich . 2) Hier liegt mein Problem. Ich hab mir schon alles mögliche zum Zentrum durchgelesen. Bei Wikipedia wird der über die kommutierenden Elemente der Gruppe definiert. Aber egal wie ich es angehe, ich weiß nicht, wie ich das mit den Automorphismen zeigen soll. Irgendwie fehlt mir da der Ansatzpunkt. Gruß Martin
14.07.2014, 21:28	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentrum einer Gruppe und Automorphismen Hallo, Ich glaube du hast dich bei der Definition vertippt. Zu 2): $\begin{eqnarray} \alpha(gh) = \alpha(hg) \Leftrightarrow \alpha(g) \alpha(h) = \alpha (h) \alpha (g) \end{eqnarray}$
14.07.2014, 21:41	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, habs verdreht beim abtippen: $\begin{eqnarray} Z(G) =C_G(G) = \{ g \in G \ \| \ k^g = k \ \ \forall k \in G \} \end{eqnarray}$ So müsste es passen. Wie ich aus deiner Antwort zu der Aussage komme, dass jedes Element aus dem Zentrum wieder im Zentrum landet weiß ich gerade nicht. Also ich kann die Aussage nachvollziehen aber mir ist gerade nicht klar, warum das mein Ziel ist. Ich hab mich bisher aber auch eher mit der Definition über die Konjugationseigenschaft herumgeschlagen. Vielleicht komme ich hier mit der Kommutativität eher weiter. Eine Frage hätte ich aber. Automorphismus heißt ja, dass es ein bijektiver Homomorphismus ist. Kommutieren die automatisch? Also sind Homomorphismen, die kommutieren, automatisch Automorphismen? Da muss ich mir mal Gedanken drüber machen. Gruß Martin
14.07.2014, 21:56	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Vermutlich war deine erste Definition von Zentrum (die wenn mich nicht alles täuscht äquivalent ist zu deiner zweiten) doch richtig. Mir ist nur eben klar geworden, was du mit dieser Exponentenschreibweise meinst. Meiner Meinung nach ist die anschaulichste Definition des Zentrums diese: $\begin{eqnarray} Z(G) = \{ g \in G \| \forall h \in G: gh=hg \} \end{eqnarray}$ , welche offensichtlich auch äquivalent zu deinen ist.
14.07.2014, 22:04	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, ja diese Exponentenschreibweise nehmen wir für die Konjugation. $\begin{eqnarray} g^k = k^{-1}gk \end{eqnarray}$ Aber ja, die Definition über genau die Elemente, die kommutieren, ist identisch. Bleibt die Frage nach Teil 2. Ich hab immer noch nicht verstanden, wie du mit deiner Lösung mein Problem löst. Das was ich da über kommutative Automorphismen geredet habe war natürlich quatsch. Es sind ja gar nicht zwei unterschiedliche Automorphismen und du nutzt ja auch gar nicht aus, dass die kommutatieren sondern du nutzt aus, dass die Elemente kommutieren. Deine Aussage ist somit klar, sie hilft mir nur nicht weiter . Allerdings wundert mich, dass du bei deiner Lösung dann ja allein die Homomorphieeigenschaft ausgenutzt hast. Ich gehe irgendwie davon aus, dass man schon darauf eingehen muss, dass der Homomorphismus ein Automorphismus ist. Ansonsten wäre die Aussage bestimmt nicht auf die Automorphismengruppe beschränkt. Gruß Martin
14.07.2014, 22:09	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch nur ein hint. In der Definition von Zentrum kommt ein Allquantor vor. Um den zu bedienen braucht man zumindest surjektivität. Die sollte meiner Meinung nach auch reichen. Jedenfalls sehe ich gerade (ohne Stift und Papier) nicht, wozu man Injektivität braucht. Edit: Injektivität braucht man natürlich doch, und zwar damit da "=" statt $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ steht, also eher aus trivialen Gründen.
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14.07.2014, 23:01	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, dann versuch ich das mal als Hinweis zu sehen. Ich wäre jetzt so vorgegangen, dass ich mir ein Element aus dem Zentralisator nehme, es Abbilde und zeige, dass das abgebildete Element wieder im Zentralisator liegt. Ich glaub ich habs: Sei g aus dem Zentrum von G. Dann gilt: $\begin{eqnarray} k^g = k \forall k \in G \end{eqnarray}$ Außerdem gilt: $\begin{eqnarray} kg = gk \forall k \in G \end{eqnarray}$ Jetzt betrachte ich $\begin{eqnarray} \alpha(g)k \end{eqnarray}$ : Da alpha ein Automorphismus ist, existiert sicher ein x aus G mit $\begin{eqnarray} \alpha(x) = k \end{eqnarray}$ Das setze ich jetzt ein und erhalte: $\begin{eqnarray} \alpha(g)k = \alpha(g)\alpha(x) \end{eqnarray}$ Das kann ich jetzt auf Grund der Homomorphieeigenschaft zusammenfassen und erhalte: $\begin{eqnarray} = \alpha(gx) \end{eqnarray}$ Da g im Zentralisator liegt gilt aber gx = xg und damit erhalte ich: $\begin{eqnarray} = \alpha(xg) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \alpha(x)\alpha(g) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = k\alpha(g) \end{eqnarray}$ damit habe ich also gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \alpha(g) \end{eqnarray*}$ mit jedem k aus G kommutiert und somit selbst im Zentrum liegt. Eigentlich müsste das jetzt richtig sein. Gruß Martin

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