Z adjungiert Wurzel(r^2+1) hat unendlich viele Einheiten

16.07.2014, 21:15

MartinL

Z adjungiert Wurzel(r^2+1) hat unendlich viele Einheiten

Moin,

ich rechne mir hier ziellos nen Wolf. Ich soll zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} 2 \leq r \in N \end{eqnarray*}$ der Ring
$\begin{eqnarray*} R := \mathbb{Z}_{[\sqrt{r^2+1]}} = \{ a+b*\sqrt{r^2+1} \ | \ a,b \ in \ \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}$ unendlich viele Einheiten hat.
Ich muss also zeigen, dass ich beliebig viele $\begin{eqnarray*} x,y \in R \end{eqnarray*}$ finde mit xy = 1. Es reicht auch, wenn ich nur ein x und dazu beliebig viele y finde oder andersherum.

Ich habe mir also zwei Elemente $\begin{eqnarray*} (a+b*\sqrt{r^2+1}), (x+y*\sqrt{r^2+1}) \in R \end{eqnarray*}$ genommen und erst mal multipliziert um zu schauen, wie das Produkt aussieht. Es hat die Form:

$\begin{eqnarray*} ax + ay*\sqrt{r^2+1} + bx*\sqrt{r^2+1} + byr^2+by \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2+1} \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen weder aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ noch aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ stammt, muss $\begin{eqnarray*} ay = -bx \end{eqnarray*}$ gelten, damit der irrationale Teil schon mal weg fällt.

Es ist also zu zeigen, dass ich x,y in Abhängigkeit von a,b so wählen kann, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} ax + byr^2+by = 1 \end{eqnarray*}$

Da es aber im Ring nicht unbedingt zu jedem Element ein multiplikativ Inverses gibt, fällt es mir schwer, das zu zeigen. Ich vermute, dass ich einfach auf dem Schlauch stehe. Jemand Tipps? Vielleicht geht man an die Suche nach Einheiten ja auch ganz anders heran.

Gruß
Martin

16.07.2014, 22:14

MartinL

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Mhh, ich habe ein paar Einheiten gefunden aber eigentlich nur vier und nicht unendlich viele.

Ich forme noch einmal um und erhalte:
$\begin{eqnarray*} ax + by(r^2+1) = 1 \end{eqnarray*}$
Außerdem hab ich ja oben schon $\begin{eqnarray*} (***) := ay = -bx \end{eqnarray*}$ gewählt.

Jetzt kann ich b = y = 1 wählen und erhalte
$\begin{eqnarray*} ax + r^2+1 = 1 \end{eqnarray*}$
Jetzt kann ich a = r und x = -r oder a = -r und x = r wählen. Damit geht die Gleichung auf und (***) ist auch erfüllt.

Ich kann auch b = y = -1 wählen und wieder jeweils a = r, -r und x = r,-r. Das kommt auch hin.

Allerdings sehe ich nicht noch mehr Einheiten. Jetzt hab ich natürlich ein Problem Augenzwinkern

Gruß
Martin

17.07.2014, 07:18

ollie3

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hallo,
ich habe eine tolle idee, wie man die aufgabe vollenden kann: Augenzwinkern

du hast ja schon ein paar einheiten gefunden, und für einheiten gilt ja
x*y=1. Nutze aus, dass dann auch (x*y)^2, (x*y)^3 ... =1 ist, dass heisst
du brauchst dir nur eine einheit nehmen und sie potenzieren, so hast du
unendlich viele einheiten gefunden... smile

gruss ollie3

17.07.2014, 10:20

RavenOnJ

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@ollie
Vielleicht musst du dann aber erst mal beweisen, dass es unendlich viele sind. Im Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt das auch. Der hat aber trotzdem nur 2 Einheiten.

17.07.2014, 11:37

MartinL

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Könnte ein guter Hinweis gewesen sein. Wenn ich allerdings zwei unterschiedliche Einheiten multipliziere, komme ich immer auf 1 oder -1. Damit weiter zu machen hilft also nicht, da ich dann immer wieder in {1, -1} lande.

Wenn ich aber eine Einheit quadriere, dann müsste das ja auch eine Einheit sein. Ich nehme also:

$\begin{eqnarray*} (r+\sqrt{r^2+1})^2 = 2r^2+2r\sqrt{r^2+1}+1 \end{eqnarray*}$

Wenn das eine Einheit ist, kann ich sie immer weiter quadrieren und bekomme natürlich immer unterschiedliche neue Zahlen raus. Ist das die richtige Idee? Oder verrenne ich mich?

Gruß
Martin

17.07.2014, 11:46

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MartinL

Wenn das eine Einheit ist, kann ich sie immer weiter quadrieren und bekomme natürlich immer unterschiedliche neue Zahlen raus.

Das ist richtig, da die alle größer als 1 sind..

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